Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная логарифма по основанию a

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная от логарифма по основанию a равна единице, деленной на подлогарифмическую функцию, умноженную на логарифм натуральный основания.

    \[    \left( \log _{a} x \right)' = \frac{1}{x \ln a} \]

Данная формула справедлива для любого x > 0 .

Заметим, что если основание логарифма a = e, то получаем логарифм натуральный и его производная равна

    \[    \left( \log _{e} x \right)' = \left( \ln x \right)' = \frac{1}{x \ln e} = \frac{1}{x} \]

Примеры решения задач по теме «Производная логарифма»

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции y(x) = x \log _{3} x
Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( x \log _{3} x \right)' \]

Производную произведения найдем по формуле:

    \[    \left( uv \right)' = \left( u \right)' \cdot v + u \cdot \left( v \right)' \]

Тогда в нашем случае для u=x, v = \log _{3} x имеем:

    \[    y'(x) = \left( x \right)' \cdot \log _{3} x + x \cdot \left( \log _{3} x \right)' \]

Производная независимой переменной x равна единице:

    \[    \left( x \right)' = 1 \]

производная логарифма:

    \[   \left( \log _{3} x \right)' = \frac{1}{x \ln 3} \]

Итак, имеем:

    \[    y'(x) = \left( x \right)' \cdot \log _{3} x + x \cdot \left( \log _{3} x \right)' = 1 \cdot \log _{3} x + x \cdot \frac{1}{x \ln 3} = \log _{3} x + \frac{1}{\ln 3} \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции y(x) = \lg 2x
Решение Производная заданной функции

    \[    y'(x) = \left( \lg 2x \right)' \]

Задан десятичный логарифм, то есть его основание a=10 . И так как аргумент логарифма отличен от просто x, то еще умножаем на производную аргумента. Будем иметь:

    \[    y'(x) = \left( \lg 2x \right)' = \frac{1}{2x \ln 10} \cdot \left( 2x \right)' \]

Найдем производную от подлогарифмической функции. Константу выносим за знак производной:

    \[    \left( 2x \right)' = 2 \cdot \left( x \right)' \]

Производная независимой переменной x равна единице:

    \[    \left( 2x \right)' = 2 \cdot \left( x \right)' = 2 \cdot 1 = 2 \]

Таким образом, окончательно имеем:

    \[    y'(x) = \frac{1}{2x \ln 10} \cdot \left( 2x \right)' = \frac{1}{2x \ln 10} \cdot 2 =  \frac{1}{x \ln 10} \]

Ответ