Производная котангенса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная котангенса равна минус единице, деленной на синус того же аргумента в квадрате.

$\left( \text{ctg} x \right)' = -\frac{1}{\sin^{2} x}$

Заметим, что эта формула легко получается из того факта, что $\text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ , а также из формулы дифференцирования частного:

$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' v - uv'}{v^{2}}$

с учетом того, что $\left( \sin x \right)' = \cos x \text{ },\text{ } \left( \cos x \right)' = -\sin x$ .

Если аргумент тангенса есть функция более сложная, чем просто «икс», то есть является сложной функцией, то надо умножить еще на производную аргумента. В этом случае формула производной принимает вид:

$\left( \text{ctg } u(x) \right)' = -\frac{1}{\sin^{2} u(x)} \cdot \left( u(x) \right)'$

Примеры решения задач по теме «Производная котангенса»

ПРИМЕР 1

Задание

Найти производную функции $y(x) = \sqrt{\text{ctg} x}$

Решение

Искомая производная

$y'(x) = \left( \sqrt{\text{ctg} x} \right)'$

Производная от корня равна единице деленной на два таких же корня и все это мы еще умножаем на производную от подкоренного выражения, так как там стоит функция более сложная, чем просто $x$ :

$y'(x) = \left( \sqrt{\text{ctg} x} \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{\text{ctg} x}} \cdot \left( \text{ctg} x \right)'$

Производная котангенс икс равна минус единице деленной на минус синус квадрат икс, то есть:

$y'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{\text{ctg} x}} \cdot \left( \text{ctg} x \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{\text{ctg} x}} \cdot \left( -\frac{1}{\sin^{2} x} \right) = - \frac{1}{2 \sin^{2} x \sqrt{\text{ctg} x}}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Найти производную функции $y(x) = \text{ctg} \sqrt{x+1}$

Решение

Производная заданной функции равна:

$y'(x) = \left( \text{ctg} \sqrt{x+1} \right)'$

Производная от котангенса равна минус единице деленной на синус в квадрате того же аргумента. Так как заданная функция является сложной (аргумент котангенса отличен от просто $x$ ), то еще умножаем на производную аргумента:

$y'(x) = \left( \text{ctg} \sqrt{x+1} \right)' = -\frac{1}{\sin^{2} \sqrt{x+1}} \cdot \left( \sqrt{x+1} \right)'$

Производная от корня равна единице деленной на два таких же корня. И так как подкоренное выражение отлично от $x$ , то умножаем еще и на его производную:

$y'(x) = -\frac{1}{\sin^{2} \sqrt{x+1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x+1}} \cdot \left( x+1 \right)' = -\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin^{2} \sqrt{x+1}} \cdot \left( x+1 \right)'$

Производная суммы равна сумме производных: $\left( u+v \right)' = u' + v'$ . Тогда

$y'(x) = -\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin^{2} \sqrt{x+1}} \cdot \left( x+1 \right)' = -\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin^{2} \sqrt{x+1}} \cdot \left[ \left( x \right)' + \left( 1 \right)' \right]$

Производная от независимой переменной $x$ равна единице, а производная константы 1 – нулю:

$y'(x) = -\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin^{2} \sqrt{x+1}} \cdot \left[ \left( x \right)' + \left( 1 \right)' \right] = -\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin^{2} \sqrt{x+1}} \cdot \left( 1+0 \right) =$

$= -\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin^{2} \sqrt{x+1}}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Производная котангенса

Примеры решения задач по теме «Производная котангенса»