Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная котангенса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная котангенса равна минус единице, деленной на синус того же аргумента в квадрате.

    \[    \left( \text{ctg} x \right)' = -\frac{1}{\sin^{2} x} \]

Заметим, что эта формула легко получается из того факта, что \text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}, а также из формулы дифференцирования частного:

    \[    \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' v - uv'}{v^{2}} \]

с учетом того, что \left( \sin x \right)' = \cos x \text{ },\text{ } \left( \cos x \right)' = -\sin x .

Если аргумент тангенса есть функция более сложная, чем просто «икс», то есть является сложной функцией, то надо умножить еще на производную аргумента. В этом случае формула производной принимает вид:

    \[    \left( \text{ctg } u(x) \right)' = -\frac{1}{\sin^{2} u(x)} \cdot \left( u(x) \right)' \]

Примеры решения задач по теме «Производная котангенса»

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции y(x) = \sqrt{\text{ctg} x}
Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( \sqrt{\text{ctg} x} \right)' \]

Производная от корня равна единице деленной на два таких же корня и все это мы еще умножаем на производную от подкоренного выражения, так как там стоит функция более сложная, чем просто x :

    \[    y'(x) = \left( \sqrt{\text{ctg} x} \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{\text{ctg} x}} \cdot \left( \text{ctg} x \right)' \]

Производная котангенс икс равна минус единице деленной на минус синус квадрат икс, то есть:

    \[    y'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{\text{ctg} x}} \cdot \left( \text{ctg} x \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{\text{ctg} x}} \cdot \left( -\frac{1}{\sin^{2} x} \right) = - \frac{1}{2 \sin^{2} x \sqrt{\text{ctg} x}} \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции y(x) = \text{ctg} \sqrt{x+1}
Решение Производная заданной функции равна:

    \[    y'(x) = \left( \text{ctg} \sqrt{x+1} \right)' \]

Производная от котангенса равна минус единице деленной на синус в квадрате того же аргумента. Так как заданная функция является сложной (аргумент котангенса отличен от просто x), то еще умножаем на производную аргумента:

    \[    y'(x) = \left( \text{ctg} \sqrt{x+1} \right)' = -\frac{1}{\sin^{2} \sqrt{x+1}} \cdot \left( \sqrt{x+1} \right)' \]

Производная от корня равна единице деленной на два таких же корня. И так как подкоренное выражение отлично от x, то умножаем еще и на его производную:

    \[    y'(x) = -\frac{1}{\sin^{2} \sqrt{x+1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x+1}} \cdot \left( x+1 \right)' = -\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin^{2} \sqrt{x+1}} \cdot \left( x+1 \right)' \]

Производная суммы равна сумме производных: \left( u+v \right)' = u' + v' . Тогда

    \[    y'(x)  = -\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin^{2} \sqrt{x+1}} \cdot \left( x+1 \right)' = -\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin^{2} \sqrt{x+1}} \cdot \left[ \left( x \right)' + \left( 1 \right)' \right] \]

Производная от независимой переменной x равна единице, а производная константы 1 – нулю:

    \[    y'(x) = -\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin^{2} \sqrt{x+1}} \cdot \left[ \left( x \right)' + \left( 1 \right)' \right] = -\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin^{2} \sqrt{x+1}} \cdot \left( 1+0 \right) =  \]

    \[    = -\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin^{2} \sqrt{x+1}} \]

Ответ