Производная функции нескольких переменных

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Частной производной по переменной $x$ от функции $z = f(x; y)$ называется предел отношения частного приращения этой функции $\Delta_x z = f(x + \Delta x; y) - f(x; y)$ по $x$ к приращению $\Delta x ,$ когда последнее стремится к нулю:

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} = z'_x = f'_x = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta_x z}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x + \Delta x; y) - f(x; y)}{\Delta x}}$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Частной производной по $y$ от функции $z = f(x; y)$ называется предел отношения частного приращения этой функции $\Delta_y z = f(x; y + \Delta y) - f(x; y)$ по $y$ к приращению $\Delta y ,$ когда последнее стремится к нулю:

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial y} = z'_y = f'_y = \lim_{\Delta y \to 0}{\frac{\Delta_y z}{\Delta y}} = \lim_{\Delta y \to 0}{\frac{f(x; y + \Delta y) - f(x; y)}{\Delta y}}$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменных $z = f(x; y)$ их четыре:

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = z''_{xx} = f''_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right), \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = z''_{yy} = f''_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = z''_{xy} = f''_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right), \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = z''_{yx} = f''_{yx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)$

Последние две частные производные второго порядка называются смешанными.

ПРИМЕР 1

Задание	Найти частную производную $z'_x$ функции $z(x; y) = y \cos x$
Решение	Продифференцируем заданное выражение по переменной $x ,$ считая переменную $y$ константой: $z'_x = (y \cos x)'_x = y \cdot (\cos x)'_x = y \cdot (- \sin x) = -y \sin x$
Ответ	$z_x' = -y \sin x$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти вторую производную $z''_{xx}$ функции $z(x; y) = e^{xy}$

Решение

Вначале найдем первую производную по переменной $x ,$ при этом переменная $y$ будет константой:

$z'_x = (e^{xy})'_x = e^{xy} \cdot (xy)'_x = e^{xy} \cdot y \cdot (x)'_x = e^{xy} \cdot y \cdot 1 = ye^{xy}$

Для нахождения второй производной $z''_{xx}$ продифференцируем полученное выражение еще раз по $x :$

$z''_{xx} = (z'_x)'_x = (ye^{xy})'_x = y \cdot (e^{xy})'_x = y \cdot ye^{xy} = y^2e^{xy}$

Ответ

$z''_{xx} = y^2e^{xy}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Производная функции нескольких переменных