Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная функции нескольких переменных

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Частной производной по переменной x от функции z = f(x; y) называется предел отношения частного приращения этой функции \Delta_x z = f(x + \Delta x; y) - f(x; y) по x к приращению \Delta x , когда последнее стремится к нулю:

    \[ 	\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} = z'_x = f'_x = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta_x z}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x + \Delta x; y) - f(x; y)}{\Delta x}} 	\]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Частной производной по y от функции z = f(x; y) называется предел отношения частного приращения этой функции \Delta_y z = f(x; y + \Delta y) - f(x; y) по y к приращению \Delta y , когда последнее стремится к нулю:

    \[ 	\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial y} = z'_y = f'_y = \lim_{\Delta y \to 0}{\frac{\Delta_y z}{\Delta y}} = \lim_{\Delta y \to 0}{\frac{f(x; y + \Delta y) - f(x; y)}{\Delta y}} 	\]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменных z = f(x; y) их четыре:

    \[ 	\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = z''_{xx} = f''_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right), \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = z''_{yy} = f''_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right) 	\]

    \[ 	\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = z''_{xy} = f''_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right), \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = z''_{yx} = f''_{yx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right) 	\]

Последние две частные производные второго порядка называются смешанными.

ПРИМЕР 1
Задание Найти частную производную z'_x функции z(x; y) = y \cos x
Решение Продифференцируем заданное выражение по переменной x , считая переменную y константой:

    \[ 				z'_x = (y \cos x)'_x = y \cdot (\cos x)'_x = y \cdot (- \sin x) = -y \sin x 				\]

Ответ z_x' = -y \sin x
ПРИМЕР 2
Задание Найти вторую производную z''_{xx} функции z(x; y) = e^{xy}
Решение Вначале найдем первую производную по переменной x , при этом переменная y будет константой:

    \[ 				z'_x = (e^{xy})'_x = e^{xy} \cdot (xy)'_x = e^{xy} \cdot y \cdot (x)'_x = e^{xy} \cdot y \cdot 1 = ye^{xy} 				\]

Для нахождения второй производной z''_{xx} продифференцируем полученное выражение еще раз по x :

    \[ 				z''_{xx} = (z'_x)'_x = (ye^{xy})'_x = y \cdot (e^{xy})'_x = y \cdot ye^{xy} = y^2e^{xy} 				\]

Ответ z''_{xx} = y^2e^{xy}