Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная экспоненциальной функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная экспоненты в степени равна этой же экспоненте.

    \[    \left( e^{x} \right)' = e^{x} \]

Отметим, что e^{x} – это единственная функция, производная которой равна самой себе.

Если степень экспоненты есть сложная функция u(x), то производная находится по формуле:

    \[    \left( e^{u(x)} \right)' = e^{u(x)} \cdot \left( u(x) \right)' \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции y(x) = e^{x^{2}-1}
Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( e^{x^{2}-1} \right)' \]

Так как степень экспоненциальной функции отлична от x, то производную находим по второй формуле: \left( e^{u(x)} \right)' = e^{u(x)} \cdot \left( u(x) \right)' . Тогда

    \[    y'(x) = \left( e^{x^{2}-1} \right)' = e^{x^{2}-1} \cdot \left( x^{2}-1 \right)' \]

Производная разности двух функций равна разности производных о каждой из них:

    \[    \left( x^{2}-1 \right)' = \left( x^{2} \right)' - \left( 1 \right)' \]

Производную x^{2} находим как производную степенной функции по формуле \left( x^{n} \right)' = n x^{n-1} :

    \[    \left( x^{2} \right)' = 2 x^{2-1} = 2x \]

А производная единицы, как производная константы, равна нулю:

    \[    \left( 1 \right)' = 0 \]

Итак,

    \[    y'(x) = e^{x^{2}-1} \cdot \left( x^{2}-1 \right)' = e^{x^{2}-1} \cdot \left( 2x-0 \right) = 2x e^{x^{2}-1} \]

Ответ y'(x) = 2x e^{x^{2}-1}
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции y(x) = \sin e^{x}
Решение Продифференцируем функцию:

    \[    y'(x) = \left( \sin e^{x} \right)' \]

Производная синуса равна косинусу: \left( \sin x \right)' = \cos x и так как аргумент синуса отличен от x, то еще умножаем на его производную. То есть имеем:

    \[    y'(x) = \left( \sin e^{x} \right)' = \cos e^{x} \cdot \left( e^{x} \right)' \]

Производная экспоненты равна этой же экспоненте, тогда

    \[    y'(x) = \cos e^{x} \cdot \left( e^{x} \right)' = \cos e^{x} \cdot e^{x} = e^{x} \cos e^{x} \]

Ответ y'(x) = e^{x} \cos e^{x}