Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная арксинуса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная арксинуса равна единица, деленная на корень из единицы минус аргумент в квадрате.

    \[    \left( \arcsin x \right)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \]

Функция y = \arcsin x является обратной к функции y = \sin x и также является нечетной.

Если аргумент арксинуса есть сложной функцией (то есть там стоит выражение более сложное, чем просто x), то формула для производной принимает вид:

    \[    \left( \arcsin u(x) \right)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}(x)}} \cdot \left( u(x) \right)' \]

Примеры решения задач по теме «Производная арксинуса»

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции y(x) = \arcsin (x-4)
Решение Производная заданной функции равна:

    \[    y'(x) = \left( \arcsin (x-4) \right)' \]

Производную арксинуса находим по формуле и так как аргумент отличен от просто x, то умножаем на производную аргумента:

    \[    y'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-(x-4)^{2}}} \cdot \left( x-4 \right)' \]

Производна разности равна разности производных:

    \[    \left( x-4 \right)' = \left( x \right)' - \left( 4 \right)' \]

Производная x, как независимой переменной, равна единице, а производная константы 4 равна нулю:

    \[    \left( x-4 \right)' = \left( x \right)' - \left( 4 \right)' = 1-0=1 \]

Тогда окончательно имеем:

    \[    y'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-(x-4)^{2}}} \cdot \left( x-4 \right)' = \frac{1}{\sqrt{1-(x-4)^{2}}} \cdot 1 = \frac{1}{\sqrt{1-(x-4)^{2}}}   \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Продифференцировать функцию y(x) = \sqrt{\arcsin x}
Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( \sqrt{\arcsin x} \right)' \]

Вначале находим производную от корня: \left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{x}} . И так как под корнем стоит выражение более сложное, чем x, то умножаем еще и на производную подкоренного выражения:

    \[    y'(x) = \left( \sqrt{\arcsin x} \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{ \arcsin x}} \cdot \left( \arcsin x \right)' \]

Находим далее производную от арксинуса:

    \[    y'(x) = \left( \sqrt{\arcsin x} \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{ \arcsin x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} = \frac{1}{2 \sqrt{\left(1-x^{2} \right) \cdot \arcsin x}} \]

Ответ