Производная арксинуса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная арксинуса равна единица, деленная на корень из единицы минус аргумент в квадрате.

$\left( \arcsin x \right)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

Функция $y = \arcsin x$ является обратной к функции $y = \sin x$ и также является нечетной.

Если аргумент арксинуса есть сложной функцией (то есть там стоит выражение более сложное, чем просто $x$ ), то формула для производной принимает вид:

$\left( \arcsin u(x) \right)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}(x)}} \cdot \left( u(x) \right)'$

Примеры решения задач по теме «Производная арксинуса»

ПРИМЕР 1

Задание

Найти производную функции $y(x) = \arcsin (x-4)$

Решение

Производная заданной функции равна:

$y'(x) = \left( \arcsin (x-4) \right)'$

Производную арксинуса находим по формуле и так как аргумент отличен от просто $x$ , то умножаем на производную аргумента:

$y'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-(x-4)^{2}}} \cdot \left( x-4 \right)'$

Производна разности равна разности производных:

$\left( x-4 \right)' = \left( x \right)' - \left( 4 \right)'$

Производная $x$ , как независимой переменной, равна единице, а производная константы 4 равна нулю:

$\left( x-4 \right)' = \left( x \right)' - \left( 4 \right)' = 1-0=1$

Тогда окончательно имеем:

$y'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-(x-4)^{2}}} \cdot \left( x-4 \right)' = \frac{1}{\sqrt{1-(x-4)^{2}}} \cdot 1 = \frac{1}{\sqrt{1-(x-4)^{2}}}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Продифференцировать функцию $y(x) = \sqrt{\arcsin x}$

Решение

Искомая производная

$y'(x) = \left( \sqrt{\arcsin x} \right)'$

Вначале находим производную от корня: $\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ . И так как под корнем стоит выражение более сложное, чем $x$ , то умножаем еще и на производную подкоренного выражения:

$y'(x) = \left( \sqrt{\arcsin x} \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{ \arcsin x}} \cdot \left( \arcsin x \right)'$

Находим далее производную от арксинуса:

$y'(x) = \left( \sqrt{\arcsin x} \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{ \arcsin x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} = \frac{1}{2 \sqrt{\left(1-x^{2} \right) \cdot \arcsin x}}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Производная арксинуса

Примеры решения задач по теме «Производная арксинуса»