Производная арккосинуса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная арккосинуса равна минус единице, деленной на корень из разности единицы и аргумента в квадрате.

$\left( \arccos x \right)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

Как можно отметить, производная арккосинуса отличается от производной арксинуса только знаком.

Функция $y = \arccos x$ является обратной к функции $y = \cos x$ , но в отличии от второй является функцией общего вида.

Примеры решения задач по теме «Производная арккосинуса»

ПРИМЕР 1

Задание

Найти производную функции $y(x) = \arccos \sqrt{x}$

Решение

Искомая производная

$y'(x) = \left( \arccos \sqrt{x} \right)'$

Находим производную арккосинуса. Так как аргумент отличен от $x$ , то еще домножаем на его (аргумента) производную:

$y'(x) = \left( \arccos \sqrt{x} \right)' = -\frac{1}{\sqrt{1-\left( \sqrt{x} \right)^{2}}} \cdot \left( \sqrt{x} \right)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \left( \sqrt{x} \right)'$

Производная от корня равна единице деленной на два таких же корня, то есть имеем:

$y'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \left( \sqrt{x} \right)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} = -\frac{1}{2 \sqrt{x \left( 1-x \right)}}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Найти производную функции $y(x) = \arccos \left( 3x^{2}-6 \right)$

Решение

Искомая производная равна:

$y'(x) = \left( \arccos \left( 3x^{2}-6 \right) \right)'$

Находим производную арккосинуса и домножаем на производную от его аргумента, так как он отличен от $x$ :

$y'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-\left( 3x^{2}-6 \right)^{2}}} \cdot \left( 3x^{2}-6 \right)'$

Производная разности равна разности производных:

$y'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-\left( 3x^{2}-6 \right)^{2}}} \cdot \left[ \left( 3x^{2} \right)' - \left( 6 \right)' \right]$

Производную от $3x^{2}$ берем как производную от степенной функции по формуле $\left( x^{n} \right)' = n x^{n-1}$ , предварительно вынеся 3 как константу за знак производной:

$\left( 3x^{2} \right)' = 3 \cdot \left( x^{2} \right)' = 3 \cdot 2 x^{2-1} = 6x$

Производная шестерки, как константы, равна нулю:

$\left( 6 \right)' = 0$

Итак, окончательно имеем:

$y'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-\left( 3x^{2}-6 \right)^{2}}} \cdot \left( 6x-0 \right) = -\frac{6x}{\sqrt{1-\left( 3x^{2}-6 \right)^{2}}}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Производная арккосинуса

Примеры решения задач по теме «Производная арккосинуса»