Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная арккосинуса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная арккосинуса равна минус единице, деленной на корень из разности единицы и аргумента в квадрате.

    \[    \left( \arccos x \right)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \]

Как можно отметить, производная арккосинуса отличается от производной арксинуса только знаком.

Функция y = \arccos x является обратной к функции y = \cos x, но в отличии от второй является функцией общего вида.

Примеры решения задач по теме «Производная арккосинуса»

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции y(x) = \arccos \sqrt{x}
Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( \arccos \sqrt{x} \right)' \]

Находим производную арккосинуса. Так как аргумент отличен от x, то еще домножаем на его (аргумента) производную:

    \[    y'(x) = \left( \arccos \sqrt{x} \right)' = -\frac{1}{\sqrt{1-\left( \sqrt{x} \right)^{2}}} \cdot \left( \sqrt{x} \right)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \left( \sqrt{x} \right)' \]

Производная от корня равна единице деленной на два таких же корня, то есть имеем:

    \[    y'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \left( \sqrt{x} \right)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} = -\frac{1}{2 \sqrt{x \left( 1-x \right)}} \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции y(x) = \arccos \left( 3x^{2}-6 \right)
Решение Искомая производная равна:

    \[    y'(x) = \left( \arccos \left( 3x^{2}-6 \right) \right)' \]

Находим производную арккосинуса и домножаем на производную от его аргумента, так как он отличен от x:

    \[    y'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-\left( 3x^{2}-6 \right)^{2}}} \cdot \left( 3x^{2}-6 \right)' \]

Производная разности равна разности производных:

    \[    y'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-\left( 3x^{2}-6 \right)^{2}}} \cdot \left[ \left( 3x^{2} \right)' - \left( 6 \right)' \right] \]

Производную от 3x^{2} берем как производную от степенной функции по формуле \left( x^{n} \right)' = n x^{n-1}, предварительно вынеся 3 как константу за знак производной:

    \[    \left( 3x^{2} \right)' = 3 \cdot \left( x^{2} \right)' = 3 \cdot 2 x^{2-1} = 6x \]

Производная шестерки, как константы, равна нулю:

    \[    \left( 6 \right)' = 0 \]

Итак, окончательно имеем:

    \[    y'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-\left( 3x^{2}-6 \right)^{2}}} \cdot \left( 6x-0 \right) = -\frac{6x}{\sqrt{1-\left( 3x^{2}-6 \right)^{2}}} \]

Ответ