Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Полная производная

Функция z = f(u, v) , где u = g_1(x, y), v = g_2(x, y) , называется сложной функцией переменных x и y .

В случае, когда функции u и v зависят только от переменной x , то есть u = g_1(x), v = g_2(x) , то производная рассматриваемой функции z = f(u, v) по независимой переменной x задается соотношением:

    \[ \frac{dz}{dx} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{du}{dx} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{dv}{dx} \text{\qquad(1)} \]

Если же u = x , а v = y = g_2(x) , то формула (1) принимает вид:

    \[ \frac{dz}{dx} = \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} \text{\qquad(2)} \]

В формулах (1), (2) выражение \frac{dz}{dx} называется полной производной функции z = f(u, v) .

ПРИМЕР 1
Задание Найти полную производную \frac{du}{dt} функции u = \sin \frac{x}{y} , если x = e^t, y= t^2 - 1
Решение Находим частные производные:

    \[ 				\frac{\partial u}{\partial x} = \cos \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{y} \cos \frac{x}{y} = \frac{1}{t^2 - 1} \cos \frac{e^t}{t^2 - 1} 				\]

    \[ 				\frac{dx}{dt} = e^t 				\]

    \[ 				\frac{du}{dy} = \cos \frac{x}{y} \cdot x \cdot \left( -\frac{1}{y^2} \right) = -\frac{x}{y^2} \cos \frac{x}{y} = -\frac{e^t}{(t^2 - 1)^2} \cos \frac{e^t}{t^2 - 1} 				\]

    \[ 				\frac{dy}{dt} = 2t 				\]

Тогда, согласно формуле (1), имеем:

    \[ 				\frac{du}{dt} = \frac{1}{t^2 - 1} \cos \frac{e^t}{t^2 - 1} \cdot e^t - \frac{e^t}{(t^2 - 1)^2} \cos \frac{e^t}{t^2 - 1} \cdot 2t = \frac{e^t}{(t^2 - 1)^2} \cos \frac{e^t}{t^2 - 1} (t^2 - 1 - 2t) 				\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти полную производную функции u = e^{ax}(y - z) , если y = a \sin x, z = \cos x
Решение Искомую производную будем находить по следующей формуле:

    \[ 				\frac{du}{dx} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} + \frac{\partial u}{\partial z} \cdot \frac{dz}{dx} 				\]

Находим частные производные:

    \[ 				\frac{\partial u}{\partial x} = ae^{ax}(y - z) \text{ },\text{ } \frac{\partial u}{\partial y} = e^{ax} \text{ },\text{ } \frac{\partial u}{\partial z} = -e^{ax} 				\]

    \[ 				\frac{dy}{dx} = a \cos x \text{ },\text{ } \frac{dz}{dy} = - \sin x 				\]

Итак, имеем:

    \[ 				\frac{du}{dx} = ae^{ax}(y - z) + e^{ax} \cdot a \cos x + \left( -e^ax \right) \cdot (-\sin x) =  				\]

    \[ 				= ae^{ax}(a \sin x - \cos x) + e^{ax} \cdot a \cos x + e^{ax} \sin x = a^2e^{ax} \sin x + e^{ax} \sin x = (a^2 + 1) e^{ax} \sin x 				\]

Ответ