Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Логарифмическое дифференцирование

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Во многих случаях для нахождения производной заданную функцию целесообразно вначале прологарифмировать, а потом продифференцировать полученный результат. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

Если задана функция y = f(x) , то прологарифмировав обе ее части, получим:

    \[ \ln y = \ln (f(x)) \]

Тогда после дифференцирования

    \[ (\ln y)' = (\ln (f(x)))' \]

То есть имеем:

    \[ \frac{y'}{y} = (\ln (f(x)))' \]

Выражая из последнего равенства искомую производную, окончательно получим, что

    \[ y' = (\ln(f(x)))' \cdot y = (\ln(f(x)))' \cdot f(x) \]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Выражение \frac{y'}{y} называется логарифмической производной функции y(x) .
ПРИМЕР
Задание Найти производную функции

    \[ 				y=\frac{(x^2 + 2) \cdot \sqrt[4]{(x - 1)^3} \cdot e^x}{(x + 5)^3} 				\]

Решение Находить производную y' по формуле «производная дроби» тут нерационально из-за сложности аналитического выражения для заданной функции y(x) . Поэтому найдем, вначале, логарифмическую производную этой функции. Для этого прологарифмируем левую и правую части выражения:

    \[ 				\ln y = \ln \frac{(x^2 + 2) \cdot \sqrt[4]{(x - 1)^3} \cdot e^x}{(x + 5)^3} 				\]

Применяем свойства логарифмов:

    \[ 				\ln y = \ln (x^2 + 2) + \ln (x - 1)^{\frac{4}{3}} + \ln e^x - \ln (x+5)^3 				\]

    \[ 				\ln y = \ln (x^2 + 2) + \frac{3}{4} \ln (x - 1) + x - 3 \ln (x+5) 				\]

Дифференцируя по x обе части последнего равенства, получим:

    \[ 				(\ln y)' = \left( \ln \left(x^2 + 2 \right) + \frac{4}{3} \ln (x - 1) + x - 3 \ln (x + 5) \right)' 				\]

    \[ 				\frac{y'}{y} = \left( \ln \left( x^2 + 2 \right) \right)' + \frac{4}{3} \cdot (\ln (x - 1))' + 3 \cdot (\ln (x+5))' = 				\]

    \[ 				= \frac{1}{x^2 +2} \cdot (x^2 + 2)' + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} (x - 1)' + 1 - 3 \cdot \frac{1}{x + 5} \cdot (x + 5)' = 				\]

    \[ 				= \frac{1}{x^2 +2} \cdot \left[ (x^2)' + (2)' \right] + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} \cdot \left[ (x)' - (1)' \right] + 1 - 3 \cdot \frac{1}{x + 5} \cdot \left[ (x)' + (5)' \right] = 				\]

    \[ 				= \frac{1}{x^2 +2} \cdot (2x + 0) + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} \cdot (1 - 0) + 1 - 3 \cdot \frac{1}{x + 5} \cdot (1 + 0) 				\]

Итак,

    \[ 				\frac{y'}{y} = \frac{2x}{x^2 + 2} + \frac{3}{4 (x - 1)} + 1 - \frac{3}{x + 5} 				\]

Отсюда находим производную y' :

    \[ 				y' = y \left( \frac{2x}{x^2 + 2} + \frac{4}{3(x - 1)} + 1 - \frac{3}{x + 5} \right) 				\]

Подставляя вместо функции y ее аналитическое выражение, окончательно будем иметь, что

    \[ 				y' = \frac{(x^2 + 2) \cdot \sqrt[4]{(x-1)^3} \cdot e^x}{(x + 5)^3} \cdot \left( \frac{2x}{x^2 + 2} + \frac{4}{3(x - 1)} + 1 - \frac{3}{x + 5} \right)	 				\]

Ответ

Нахождения производной показательно-степенной функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функцию вида y = (u(x))^{v(x)} называют показательно-степенной функцией.

Для нахождения производной этой функции используют логарифмическое дифференцирование.

Прологарифмировав левую и правую часть аналитического выражения функции, получим:

    \[ \ln y = \ln u(x)^{v(x)} \text{ } \Rightarrow \text{ } \ln y = v(x) \cdot \ln u(x) \]

Дифференцируем и будем иметь:

    \[ (\ln y)' = (v(x) \cdot \ln u(x))' \]

В правой части применяем правило дифференцировании произведения:

    \[ \frac{y'}{y} = v' \ln u + \frac{v \cdot u'}{u} \]

Выражая искомую производную y' , окончательно получим:

    \[ y' = \left( v' \ln u + \frac{v \cdot u'}{u} \right) \cdot y = \left( v' \ln u + \frac{v \cdot u'}{u} \right) \cdot u^v \]

Последнюю формулу запишем в виде:

    \[ y' = v' \cdot \ln u \cdot u^v + v \cdot u^{v - 1} \cdot u' \]

С этой формулы можно сделать вывод, что производная показательно-степенной функции равна сумме производных как показательной и степенной функций.

ПРИМЕР
Задание Найти производную функции

    \[ 				y = (\sin x)^{x^3 - 2} 				\]

Решение Для нахождения производной y' используем логарифмическое дифференцирование. Логарифмируем обе части аналитического выражения функции:

    \[ 				\ln y = (x^3 - 2) \ln \sin x 				\]

Дифференцируя это равенство, получим:

    \[ 				(\ln y)' = ((x^3 - 2) \ln \sin x)' 				\]

    \[ 				\frac{y'}{y} = (x^3 - 2)' \cdot \ln \sin x + (x^3 - 2) \cdot (\ln \sin x)' = 3x^2 \ln \sin x + (x^3 - 2) \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = 				\]

    \[ 				= 3x^2 \ln \sin x + (x^3 - 2) \cdot \text{ctg } x 				\]

Тогда

    \[ 				y' = y \cdot (3x^2 \ln \sin x + (x^3 - 2) \cdot \text{ctg } x) = (\sin x)^{x^3 - 2} \cdot (3x^2 \ln \sin x + (x^3 - 2) \cdot \text{ctg } x) 				\]

Ответ y' = (\sin x)^{x^3 - 2} \cdot (3x^2 \ln \sin x + (x^3 - 2) \cdot \text{ctg } x)