Логарифмическое дифференцирование
Если задана функция то прологарифмировав обе ее части, получим:
Тогда после дифференцирования
То есть имеем:
Выражая из последнего равенства искомую производную, окончательно получим, что
Задание | Найти производную функции
|
Решение | Находить производную по формуле «производная дроби» тут нерационально из-за сложности аналитического выражения для заданной функции Поэтому найдем, вначале, логарифмическую производную этой функции. Для этого прологарифмируем левую и правую части выражения:
Применяем свойства логарифмов:
Дифференцируя по обе части последнего равенства, получим:
Итак,
Отсюда находим производную :
Подставляя вместо функции ее аналитическое выражение, окончательно будем иметь, что
|
Ответ |
Нахождения производной показательно-степенной функции
Для нахождения производной этой функции используют логарифмическое дифференцирование.
Прологарифмировав левую и правую часть аналитического выражения функции, получим:
Дифференцируем и будем иметь:
В правой части применяем правило дифференцировании произведения:
Выражая искомую производную окончательно получим:
Последнюю формулу запишем в виде:
С этой формулы можно сделать вывод, что производная показательно-степенной функции равна сумме производных как показательной и степенной функций.
Задание | Найти производную функции
|
Решение | Для нахождения производной используем логарифмическое дифференцирование. Логарифмируем обе части аналитического выражения функции:
Дифференцируя это равенство, получим:
Тогда
|
Ответ |