Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Дифференциалы высших порядков

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифференциалом порядка n или n-ым дифференциалом, n \ge 2 от функции y = y(x) называется первый дифференциал от дифференциала порядка n - 1 , то есть:

    \[ 	d^n y = d(d^{\text{ }n - 1}y) 	\]

Например, для функции, зависящей от одной переменной y = y(x) , второй и третий дифференциалы находятся по формулам:

    \[ 	d^2y = y''(x)dx^2 	\]

    \[ 	d^3y = y'''(x)dx^3 	\]

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно запомнить, что величина dx не зависит от x , то есть относительно переменной дифференцирования является константой, поэтому при дифференцировании по x величину dx следует рассматривать как постоянный множитель.

При n \ge 2 , n-й дифференциал неинвариантен (в отличие от дифференциала первого порядка), то есть выражение d^ny зависит в общем случае от того, рассматривается ли переменная x как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, x = \varphi (t) .

Примеры вычисления дифференциалов высших порядков

ПРИМЕР 1
Задание Найти дифференциал второго порядка функции y(x) = 3x^3
Решение Согласно определению, искомый дифференциал равен:

    \[ 				d^2y = y''(x)dx^2 				\]

Найдем вторую производную заданной функции:

    \[ 				y'(x) = \left( 3x^3 \right)' = 3 \cdot 3x^2 = 9x^2 \text{ } \Rightarrow \text{ } y''(x) = (y'(x))' = \left( 9x^2 \right)' = 18x 				\]

Тогда, искомый дифференциал

    \[ 				d^2y = 18xdx^2 				\]

Ответ d^2y = 18xdx^2
ПРИМЕР 2
Задание Найти дифференциал d^3y функции y(x) = \sin x
Решение Искомый дифференциал найдем по формуле:

    \[ 				d^3y = y'''(x)dx^3 				\]

Третья производная заданной функции:

    \[ 				y'(x) = (\sin x)' = \cos x 				\]

    \[ 				y''(x) = (y'(x))' = (\cos x)' = -\sin x 				\]

    \[ 				y'''(x) = (y''(x))' = (-\sin x)' = -\cos x 				\]

Тогда

    \[ 				d^3y = -\cos xdx^3 				\]

Ответ d^3y = -\cos xdx^3