Дифференциалы высших порядков

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дифференциалом порядка $n$ или $n$ -ым дифференциалом, $n \ge 2$ от функции $y = y(x)$ называется первый дифференциал от дифференциала порядка $n - 1 ,$ то есть:

$d^n y = d(d^{\text{ }n - 1}y)$

Например, для функции, зависящей от одной переменной $y = y(x) ,$ второй и третий дифференциалы находятся по формулам:

$d^2y = y''(x)dx^2$

$d^3y = y'''(x)dx^3$

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно запомнить, что величина $dx$ не зависит от $x ,$ то есть относительно переменной дифференцирования является константой, поэтому при дифференцировании по $x$ величину $dx$ следует рассматривать как постоянный множитель.

При $n \ge 2 ,$ $n$ -й дифференциал неинвариантен (в отличие от дифференциала первого порядка), то есть выражение $d^ny$ зависит в общем случае от того, рассматривается ли переменная $x$ как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, $x = \varphi (t) .$