Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Дифференциал первого порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифференциалом первого порядка dy функции y = y(x) называется выражение, которое задается следующей формулой:

    \[ 	dy = y'(x)dx 	 \]

Свойства дифференциала первого порядка:

  1. d(C) = 0, C = \text{const} .

    Дифференциал первого порядка от константы равен нулю.

  2. Свойство линейности:

        \[  d(C_1 u + C_2 v) = C_1 du + C_2 dv  \]

  3. Дифференциал произведения:

        \[  d(uv) = du \cdot v + u \cdot dv  \]

  4. Дифференциал частного:

        \[  d \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{du \cdot v - u \cdot dv}{v^2}  \]

  5. . Пусть z(x) = z(y(x)) − сложная функция, образованная композицией функций y = y(x) и z = z(y). Тогда дифференциал функции z

        \[  dz = z'(y)dy = z'(y) \cdot y'(x)dx  \]

    То есть выражение для дифференциала сложной функции через дифференциал промежуточного аргумента имеет такую же форму, что и основное определение dz = z'(x)dx. Это утверждение называется инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Примеры вычисления дифференциала первого порядка

ПРИМЕР 1
Задание Найти дифференциал первого порядка функции y(x) = 2x + 4 \sin x
Решение Согласно определению, искомый дифференциал

    \[ 				dy(x) = d(2x + 4 \sin x) 				 \]

Из свойства линейности получаем:

    \[ 				dy(x) = d(2x + 4 \sin x) = 2d(x) + 4d( \sin x) = 2dx + 4 \cos xdx = (2 + 4 \cos x)dx 				 \]

Ответ dy(x) = (2 + 4 \cos x)dx
ПРИМЕР 2
Задание Найти дифференциал функции y = xe^x
Решение Необходимо найти дифференциал произведения двух функций u(x) = x и v(x) = e^x . Тогда дифференциал произведения равен:

    \[ 				dy = d(xe^x) = d(x) \cdot e^x + x \cdot d(e^x) = dx \cdot e^x + x \cdot e^xdx = (1 + x)e^xdx 				 \]

Ответ dy = (1 + x)e^xdx