Теория пределов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Интуитивно понятие о предельном переходе при вычислении площадей и объемов различных геометрических тел использовалось еще учеными Древней Греции, особенно в работах древнегреческого математика, физика и инженера Архимеда (287 до н.э. – 212 до н.э.).

Дальнейшее свое активное применение теория пределов получила при создании дифференциального и интегрального исчислений в 17 в., прежде всего в работах английского физика, математика, механика и астронома Исаака Ньютона (1642-1727). Впервые определение понятия предела было введено в работе английского математика Джона Валлиса (1616-1703) «Арифметика бесконечных величин». Хотя все же исторически понятие предела не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений. Только лишь в 19 веке в работах великого французского математика и механика Огюстена Луи Коши (1789-1857) теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшим развитием этой теории занимались немецкий математик Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815-1897) и чешский математик, философ и теолог Бернард Больцано (1781-1848).

Предел последовательности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Число $a$ называется пределом последовательности $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ , если для любого положительного числа $\varepsilon$ , существует такой номер ${{n}_{0}}$ , зависящий от $\varepsilon$ , начиная с которого выполняется неравенство $\left| {{x}_{n}}-a \right|<\varepsilon$ :

$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=a\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists {{n}_{0}}={{n}_{0}}\left( \varepsilon \right)\in N:\forall n>{{n}_{0}}\ \left| {{x}_{n}}-a \right|<\varepsilon$

ПРИМЕР

Задание

Доказать, что $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n}{n+3}=1$

Доказательство

То есть необходимо показать, что

$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n}{n+3}=1\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists {{n}_{0}}={{n}_{0}}\left( \varepsilon \right)\in N:\forall n>{{n}_{0}}\ \left| \frac{n}{n+3}-1 \right|<\varepsilon$

Упростим выражение, стоящее под последним модулем:

$\left| \frac{n}{n+3}-1 \right|=\left| \frac{n-n-3}{n+3} \right|=\left| \frac{-3}{n+3} \right|=\frac{3}{n+3}<\varepsilon$

Решаем последнее неравенство относительно ${{n}_{0}}$ :

$\frac{3}{n+3}<\varepsilon \Rightarrow n+3>\frac{3}{\varepsilon }\Rightarrow n>\frac{3}{\varepsilon }-3\Rightarrow {{n}_{0}}=\left[ \left| \frac{3}{\varepsilon }-3 \right| \right]+1$

Здесь $\left[ y \right]$ – целая часть числа $y$ .

Итак,

$\forall \varepsilon >0\ \exists {{n}_{0}}=\left[ \left| \frac{3}{\varepsilon }-3 \right| \right]+1:\forall n>{{n}_{0}}\ \left| \frac{n}{n+3}-1 \right|<\varepsilon$

Что и требовалось доказать.

Свойства предела последовательности

1. Если предел последовательности существует, то он единственный.

2. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,C=C,\ C=\text{const}$

3. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}_{n}}+{{y}_{n}} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}+\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{y}_{n}}$ (если оба предела в правой части существуют).

4. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( C\cdot {{x}_{n}} \right)=C\cdot \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}},\ C=\text{const}$ .

5. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}_{n}}\cdot {{y}_{n}} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}\cdot \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{y}_{n}}$ (если оба предела в правой части существуют).

6. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}_{n}}}{{{y}_{n}}}=\frac{\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}}{\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{y}_{n}}}$ (если оба предела в правой части существуют и предел знаменателя не равен нулю).

7. Теорема про двухстороннее ограничение (Теорема про двух милиционеров): если ${{y}_{n}}<{{x}_{n}}<{{z}_{n}}; \quad \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{y}_{n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{z}_{n}}=a$ , то и $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=a$

Предел функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Число $b$ называется пределом функции $y=f\left( x \right)$ в точке $a$ , если для любого положительного числа $\varepsilon$ существует такое положительное число $\delta$ , зависящее от $\varepsilon$ , такое что для любого $x$ из области определения функции из того, что $0<\left| x-a \right|<\delta$ следует выполнение неравенства $\left| f\left( x \right)-b \right|<\varepsilon$ :

$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=b\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \,\delta =\delta \left( \varepsilon \right):\forall \,x\in D\left( f \right)\ 0<\left| x-a \right|<\delta \Rightarrow \left| f\left( x \right)-b \right|<\varepsilon$

ПРИМЕР

Задание

Доказать равенство $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-9 \right)=0$

Доказательство

Согласно определению, нужно показать

$\forall \varepsilon >0\ \exists \,\delta =\delta \left( \varepsilon \right):\forall \,x\in D\left( f \right)\ 0<\left| x-3 \right|<\delta \Rightarrow \left| f\left( x \right)-0 \right|<\varepsilon$

Доказательство сводится к нахождению величины $\delta$ . Рассмотрим последнее неравенство:

$\left| f\left( x \right)-0 \right|=\left| f\left( x \right) \right|=\left| {{x}^{2}}-9 \right|=\left| \left( x-3 \right)\left( x+3 \right) \right|=\left| x-3 \right|\cdot \left| x+3 \right|=\left| x-3 \right|\cdot \left| \left( x-3 \right)+6 \right|$

Модуль суммы не больше суммы модулей, поэтому имеем:

$\left| f\left( x \right)-0 \right|=\left| x-3 \right|\cdot \left| \left( x-3 \right)+6 \right|\le \left| x-3 \right|\cdot \left( \left| x-3 \right|+6 \right)={{\left| x-3 \right|}^{2}}+6\left| x-3 \right|=$

$={{\left| x-3 \right|}^{2}}+6\left| x-3 \right|={{\left| x-3 \right|}^{2}}+2\cdot \left| x-3 \right|\cdot 3+{{3}^{2}}-{{3}^{2}}={{\left( \left| x-3 \right|+3 \right)}^{2}}-9<\varepsilon \Rightarrow$

$\Rightarrow {{\left( \left| x-3 \right|+3 \right)}^{2}}<\varepsilon +9\Rightarrow \left| x-3 \right|+3<\sqrt{\varepsilon +9}\Rightarrow \left| x-3 \right|<\sqrt{\varepsilon +9}-3=\delta >0$

Итак,

$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-9 \right)=0\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \,\delta =\sqrt{\varepsilon +9}-3:\forall \,x\in D\left( f \right)\ 0<\left| x-3 \right|<\delta \Rightarrow$

$\Rightarrow \left| f\left( x \right) \right|<\varepsilon$

Что и требовалось доказать.

Замечание. Для пределов функций справедливы аналогичные свойства, как и для пределов последовательностей, которые приведены выше.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Теория пределов

Предел последовательности

Свойства предела последовательности

Предел функции