Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Таблица пределов функций

Пусть \underset{x\to c}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=a, \quad \underset{x\to c}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=b. Тогда

1) Предел суммы/разности равен сумме/разности пределов от каждого из слагаемых:

    \[ \underset{x\to c}{\mathop{\lim }}\,\left[ f\left( x \right)\pm g\left( x \right) \right]=a\pm b \]

ПРИМЕР
Задание Найти предел \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-1 \right)
Решение Предел разности двух функций равен разности пределов от каждой из них, то есть

    \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-1 \right)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}-\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,1={{1}^{2}}-1=1-1=0\]

Ответ \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-1 \right)=0

2) Предел произведения равен произведению пределов, если последние существуют:

    \[ \underset{x\to c}{\mathop{\lim }}\,\left[ f\left( x \right)\cdot g\left( x \right) \right]=a\cdot b \]

ПРИМЕР
Задание Найти предел \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,x\sin x
Решение Поскольку предел произведения равен произведению пределов, то

    \[\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,x\sin x=\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,x\cdot \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,\sin x=\frac{\pi }{2}\cdot \sin \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}\cdot 1=\frac{\pi }{2}\]

Ответ \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,x\sin x=\frac{\pi }{2}

3) Предел частного равен частному пределов, если последние существуют и предел знаменателя не равен нулю:

    \[ \underset{x\to c}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\frac{a}{b},\ b\ne 0 \]

ПРИМЕР
Задание Найти предел

    \[ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+1}{\cos x} \]

Решение Поскольку предел отношения двух функций равен отношению их пределов, то

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+1}{\cos x}=\frac{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\cos x}=\frac{{{0}^{2}}+1}{\cos 0}=\frac{1}{1}=1\]

Ответ

4) \underset{x\to c}{\mathop{\lim }}\,{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{\alpha }}={{a}^{\alpha }}

5) Правило Лопиталя: если \underset{x\to c}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to c}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0 или \underset{x\to c}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to c}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\infty, то

    \[ \underset{x\to c}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to c}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)} \]

ПРИМЕР
Задание Найти предел, используя правило Лопиталя.

    \[ \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}-3x+2} \]

Решение Заданный предел имеет неопределенность

    \[\left[ \frac{{{1}^{2}}-1}{{{1}^{2}}-3\cdot 1+2}=\frac{0}{0} \right]\]

поэтому к нему можно применить правило Лопиталя. Найдем отдельно производную числителя, отдельно знаменателя:

    \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}-3x+2}\ \left[ \frac{0}{0} \right]=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{\prime }}}{{{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)}^{\prime }}}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{2x-3}=\frac{2\cdot 1}{2\cdot 1-3}=\frac{2}{-1}=-2\]

Ответ

6) Первый замечательный предел:

    \[ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1 \]

7) Второй замечательный предел:

    \[ \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{x} \right)}^{x}}=e \]

где e – число Эйлера (или постоянная Непера).

8) \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1-\frac{1}{x} \right)}^{x}}=\frac{1}{e}

9) \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e

10) Предел константы равен этой константе:

    \[ \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,C=C \]

Пример: \underset{x\to 12}{\mathop{\lim }}\,13=13

11) Предел многочлена при стремлении аргумента к некоторому значению a равен значению многочлена в точке a:

    \[ \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{P}_{n}}\left( x \right)={{P}_{n}}\left( a \right) \]

Пример

    \[\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+3x-1 \right)={{\left. \left( {{x}^{2}}+3x-1 \right)\  \right|}_{x=-1}}={{\left( -1 \right)}^{2}}+3\cdot (-1)-1=1-3-1=-3\]

12) \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{A}{x}=\infty ,\ \forall A\in R

13) \underset{x\to 0+}{\mathop{\lim }}\,{{\log }_{a}}x=\left\{ \begin{matrix} & +\infty ,\ 0<a<1, \\ & -\infty ,\ a>1. \\ \end{matrix} \right.

14) \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\log }_{a}}x=+\infty

15) \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}^{x}}=\left\{ \begin{matrix} & 0,\ 0<a<1; \\ & +\infty ,\ a>1. \\ \end{matrix} \right.

16) \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}^{x}}=\left\{ \begin{matrix} & +\infty ,\ 0<a<1; \\ & 0,\ a>1. \\ \end{matrix} \right.

17) \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\sin x=\sin a

18) \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\cos x=\cos a

19) \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos x}{x}=0

20) \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos x}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{2}

21) \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{a}}=\left\{ \begin{matrix} & \infty ,\ a>0; \\ & 1,\ a=0; \\ & 0,\ a<0. \\ \end{matrix} \right.

22) \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}^{x}}=\left\{ \begin{matrix} & \infty ,\ a>1; \\ & 0,\ -1<a<1. \\ \end{matrix} \right.

23) \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[x]{a}=\left\{ \begin{matrix} & 1,\ a>0; \\ & 0,\ a=0; \\ & \not{\exists },\ a<0. \\ \end{matrix} \right.

Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.