Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Таблица эквивалентности пределов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Таблица эквивалентных функций применяется для вычисления пределов и исследования числовых рядов на сходимость.

Пусть функция \alpha \left( x \right) является бесконечно малой функцией в точке a, то есть

    \[\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\alpha \left( x \right)=0\]

тогда имеют место следующие соотношения:

Примеры решения задач

ПРИМЕР
Задание Используя таблицу эквивалентных бесконечно малых, вычислить предел

    \[ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\arcsin {{x}^{2}}}{\sin x} \]

Решение Данный предел имеет неопределенность

    \[\left[ \frac{0\cdot \arcsin {{0}^{2}}}{\sin 0}=\frac{0}{0} \right]\]

Перейдем под знаком предела к эквивалентным бесконечно малым (это можно сделать, поскольку аргументы арксинуса и синуса стремятся к нулю):

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\arcsin {{x}^{2}}}{\sin x}\ \left[ \frac{0}{0} \right]=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\cdot {{x}^{2}}}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}=0\]

Ответ
ПРИМЕР
Задание Найти предел

    \[ \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\text{tg}\left( x-1 \right)}{{{x}^{2}}-1} \]

Решение Выясним, имеет ли рассматриваемый предел неопределенность и если да, то какого типа:

    \[\left[ \frac{\text{tg}\left( 1-1 \right)}{{{1}^{2}}-1}=\frac{\text{tg}\,\text{0}}{0}=\frac{0}{0} \right]\]

То есть имеем неопределенность типа \left[ \frac{0}{0} \right]. Поскольку аргумент тангенса стремится к нулю, при стремлении x к единице, то можно тангенс заменить эквивалентной ему величиной:

    \[\text{tg}\left( x-1 \right)\tilde{\ }x-1\]

К знаменателю дроби применим формулу сокращенного умножения «разность квадратов»:

    \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\text{tg}\left( x-1 \right)}{{{x}^{2}}-1}\ \left[ \frac{0}{0} \right]=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\]

Ответ