Таблица эквивалентности пределов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Таблица эквивалентных функций применяется для вычисления пределов и исследования числовых рядов на сходимость.

Пусть функция $\alpha \left( x \right)$ является бесконечно малой функцией в точке $a$ , то есть

$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\alpha \left( x \right)=0$

тогда имеют место следующие соотношения:

Примеры решения задач

ПРИМЕР

Задание

Используя таблицу эквивалентных бесконечно малых, вычислить предел

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\arcsin {{x}^{2}}}{\sin x}$

Решение

Данный предел имеет неопределенность

$\left[ \frac{0\cdot \arcsin {{0}^{2}}}{\sin 0}=\frac{0}{0} \right]$

Перейдем под знаком предела к эквивалентным бесконечно малым (это можно сделать, поскольку аргументы арксинуса и синуса стремятся к нулю):

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\arcsin {{x}^{2}}}{\sin x}\ \left[ \frac{0}{0} \right]=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\cdot {{x}^{2}}}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}=0$

Ответ

ПРИМЕР

Задание

Найти предел

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\text{tg}\left( x-1 \right)}{{{x}^{2}}-1}$

Решение

Выясним, имеет ли рассматриваемый предел неопределенность и если да, то какого типа:

$\left[ \frac{\text{tg}\left( 1-1 \right)}{{{1}^{2}}-1}=\frac{\text{tg}\,\text{0}}{0}=\frac{0}{0} \right]$

То есть имеем неопределенность типа $\left[ \frac{0}{0} \right]$ . Поскольку аргумент тангенса стремится к нулю, при стремлении $x$ к единице, то можно тангенс заменить эквивалентной ему величиной:

$\text{tg}\left( x-1 \right)\tilde{\ }x-1$

К знаменателю дроби применим формулу сокращенного умножения «разность квадратов»:

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\text{tg}\left( x-1 \right)}{{{x}^{2}}-1}\ \left[ \frac{0}{0} \right]=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Таблица эквивалентности пределов

Примеры решения задач