Пределы для чайников

Определение предела

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Число $b$ называется пределом функции $y=f\left( x \right)$ при $x$ , стремящемся к $a$ , если для любого $\varepsilon >0$ найдётся такое положительное число $\delta =\delta \left( \varepsilon \right)$ , которое зависит от $\varepsilon$ , такое, что из того что $\left| x-a \right|<\delta$ следует выполнение неравенства $\left| f\left( x \right)-b \right|<\varepsilon$ :

$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=b\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \,\delta =\delta \left( \varepsilon \right):\left| x-a \right|<\delta \Rightarrow \left| f\left( x \right)-b \right|<\varepsilon$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Число $a$ называется пределом последовательности $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ , если для любого числа $\varepsilon >0$ существует такой номер ${{n}_{0}}={{n}_{0}}\left( \varepsilon \right)$ , зависящий от $\varepsilon$ , такой, что для всех номеров $n\ge {{n}_{0}}$ имеет место неравенство $\left| {{x}_{n}}-a \right|<\varepsilon$ .

Предел числовой последовательности обозначается как $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=a$ .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Часто используемые пределы

Приведем часто употребляемые пределы и их значения, которые можно (и даже нужно) запомнить как формулы:

1. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{q}^{n}}=\left\{ \begin{matrix} & 0,\ \left| q \right|<1; \\ & \infty ,\ \left| q \right|>1; \\ & \left[ {{1}^{\infty }} \right],\ \left| q \right|=1. \\ \end{matrix} \right.$

Здесь запись $\left[ {{1}^{\infty }} \right]$ означает соответствующую неопределенность, которая требует дальнейшего «раскрытия» (то есть от неопределенности необходимо избавиться).

2. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{m}}{{x}^{m}}+{{a}_{m-1}}{{x}^{m-1}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}}{{{b}_{k}}{{x}^{k}}+{{b}_{k-1}}{{x}^{k-1}}+...+{{b}_{1}}x+{{b}_{0}}}=\left\{ \begin{matrix} & 0,\ m<k; \\ & \infty ,\ m>k; \\ & \frac{{{a}_{m}}}{{{b}_{k}}},\ m=k. \\ \end{matrix} \right.$

3. $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1$ – первый замечательный предел.

4. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}=e$ – второй замечательный предел.

5. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n}{{{2}^{n}}}=0$ .

6. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{k}}}{{{a}^{n}}}=0,\ a>1$ .

7. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{2}^{n}}}{n!}=0$ .

8. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}^{n}}}{n!}=0$ .

9. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n{{q}^{n}}=0,\ \left| q \right|<1$ .

10. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{a}=1,\ a>0$ .

11. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{n}=1$ .

12. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\log }_{a}}n}{n}=0,\ a>1$ .

13. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}=0$ .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Найти предел $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}$
Решение	Так как в рассматриваемом случае $q=\frac{1}{2}<1$ , то значение предела равно нулю: $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}=0$
Ответ	$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}=0$

ПРИМЕР 2

Задание	Вычислить предел $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-3x+4}{2{{x}^{2}}-6x+7}$
Решение	Так как степень числителя $m=3$ больше степени знаменателя $k=2\ (m>k)$ , то заданный предел равен бесконечности: $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-3x+4}{2{{x}^{2}}-6x+7}=\infty$
Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Пределы для чайников

Определение предела

Часто используемые пределы

Примеры решения задач