Монотонная последовательность и ее предел

Монотонно убывающая и возрастающая последовательности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Последовательность $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ называется монотонно убывающей, если для любого $n\in N$ ${{x}_{n}}>{{x}_{n+1}}$ .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Последовательность $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ называется монотонно возрастающей, если для любого номера $n\in N$ выполняется соотношение ${{x}_{n}}<{{x}_{n+1}}$ .

ПРИМЕР

Задание

Исследовать последовательность на монотонность

$\left\{ {{x}_{n}}=\frac{n}{n+1} \right\}$

Решение

Для заданной последовательности ${{x}_{n+1}}=\frac{n+1}{n+2}$ . Найдем разность ${{x}_{n}}$ — ${{x}_{n+1}}$ :

${{x}_{n}}-{{x}_{n+1}}=\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n+2}=\frac{n\left( n+2 \right)-{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}=$

$=\frac{{{n}^{2}}+2n-{{n}^{2}}-2n-1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}=-\frac{1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}$

Полученная разность будет отрицательной, поскольку $1>0, \quad \left( n+1 \right)\left( n+2 \right)>0$ как произведение двух последовательных натуральных чисел, тогда $\frac{1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}>0$ , а значит, $-\frac{1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}<0$ .

Итак,

${{x}_{n}}-{{x}_{n+1}}<0\Rightarrow {{x}_{n}}<{{x}_{n+1}}$

а это означает, что заданная последовательность $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ является монотонно возрастающей.

Ответ

Последовательность монотонно возрастающая.

Теорема Вейерштрасса

ТЕОРЕМА

Теорема Вейерштрасса (О пределе монотонной ограниченной последовательности). Если последовательность $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ является возрастающей и ограниченной сверху, то она имеет предел. Аналогично, если последовательность $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ является убывающей и ограниченной снизу, то она сходится (то есть имеет предел).

ПРИМЕР

Задание

Доказать, что последовательность $\left\{ {{x}_{n}}=\frac{1}{{{n}^{2}}} \right\}$ сходится.

Доказательство

Рассматриваемая последовательность является ограниченной, поскольку

$0<\frac{1}{{{n}^{2}}}\le 1$

следовательно, она является и ограниченной снизу, так как $\frac{1}{{{n}^{2}}}>0$ .

Исследуем заданную последовательность на монотонность, для этого найдем разность ${{x}_{n}}-{{x}_{n+1}}$ :

${{x}_{n}}-{{x}_{n+1}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}-\frac{1}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}=\frac{{{\left( n+1 \right)}^{2}}-{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}=\frac{\left( n+1-n \right)\left( n+1+n \right)}{{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}=$

$=\frac{\overset{>0}{\mathop{2n+1}}\,}{\underset{>0}{\mathop{{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}}\,}\underset{\forall n\in N}{\mathop{>}}\,0\Rightarrow$

$\Rightarrow {{x}_{n}}>{{x}_{n+1}}\Rightarrow \left\{ {{x}_{n}} \right\}$ – монотонно убывающая последовательность.

А это означает, что последовательность $\left\{ {{x}_{n}}=\frac{1}{{{n}^{2}}} \right\}$ , согласно теореме Вейерштрасса, сходится.

Что и требовалось доказать.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Монотонная последовательность и ее предел

Монотонно убывающая и возрастающая последовательности

Теорема Вейерштрасса