Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Монотонная последовательность и ее предел

Монотонно убывающая и возрастающая последовательности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Последовательность \left\{ {{x}_{n}} \right\} называется монотонно убывающей, если для любого n\in N {{x}_{n}}>{{x}_{n+1}}.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Последовательность \left\{ {{x}_{n}} \right\} называется монотонно возрастающей, если для любого номера n\in N выполняется соотношение {{x}_{n}}<{{x}_{n+1}}.
ПРИМЕР
Задание Исследовать последовательность на монотонность

    \[ \left\{ {{x}_{n}}=\frac{n}{n+1} \right\} \]

Решение Для заданной последовательности {{x}_{n+1}}=\frac{n+1}{n+2}. Найдем разность {{x}_{n}}{{x}_{n+1}}:

    \[{{x}_{n}}-{{x}_{n+1}}=\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n+2}=\frac{n\left( n+2 \right)-{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}=\]

    \[=\frac{{{n}^{2}}+2n-{{n}^{2}}-2n-1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}=-\frac{1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}\]

Полученная разность будет отрицательной, поскольку 1>0, \quad \left( n+1 \right)\left( n+2 \right)>0 как произведение двух последовательных натуральных чисел, тогда \frac{1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}>0, а значит, -\frac{1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}<0.

Итак,

    \[{{x}_{n}}-{{x}_{n+1}}<0\Rightarrow {{x}_{n}}<{{x}_{n+1}}\]

а это означает, что заданная последовательность \left\{ {{x}_{n}} \right\} является монотонно возрастающей.

Ответ Последовательность монотонно возрастающая.

Теорема Вейерштрасса

ТЕОРЕМА
Теорема Вейерштрасса (О пределе монотонной ограниченной последовательности). Если последовательность \left\{ {{x}_{n}} \right\} является возрастающей и ограниченной сверху, то она имеет предел. Аналогично, если последовательность \left\{ {{x}_{n}} \right\} является убывающей и ограниченной снизу, то она сходится (то есть имеет предел).
ПРИМЕР
Задание Доказать, что последовательность \left\{ {{x}_{n}}=\frac{1}{{{n}^{2}}} \right\} сходится.
Доказательство Рассматриваемая последовательность является ограниченной, поскольку

    \[0<\frac{1}{{{n}^{2}}}\le 1\]

следовательно, она является и ограниченной снизу, так как \frac{1}{{{n}^{2}}}>0.

Исследуем заданную последовательность на монотонность, для этого найдем разность {{x}_{n}}-{{x}_{n+1}}:

    \[{{x}_{n}}-{{x}_{n+1}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}-\frac{1}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}=\frac{{{\left( n+1 \right)}^{2}}-{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}=\frac{\left( n+1-n \right)\left( n+1+n \right)}{{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}= \]

    \[=\frac{\overset{>0}{\mathop{2n+1}}\,}{\underset{>0}{\mathop{{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}}\,}\underset{\forall n\in N}{\mathop{>}}\,0\Rightarrow \]

\Rightarrow {{x}_{n}}>{{x}_{n+1}}\Rightarrow \left\{ {{x}_{n}} \right\} – монотонно убывающая последовательность.

А это означает, что последовательность \left\{ {{x}_{n}}=\frac{1}{{{n}^{2}}} \right\}, согласно теореме Вейерштрасса, сходится.

Что и требовалось доказать.