Формулы пределов функций

При вычислении пределов зачастую используют понятия непрерывности функции в точке, предела функции на бесконечности, а также свойства пределов непрерывной функции.

ТЕОРЕМА

Значение предела в точке непрерывности функции равно значению функции в этой точке.

Замечание. Таким образом, для элементарных функций, предел в любой точке из их области определения, кроме граничных, можно вычислять как значение соответствующей функции в этих точках.

ПРИМЕР

Задание	Вычислить предел $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\sin 2x$
Решение	Так как функция $y=\sin 2x$ является непрерывной на всей области определения, то она также непрерывна и в точке $x=1$ . А тогда значение предела равно значению функции $y=\sin 2x$ в этой точке: $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\sin 2x=\sin \left( 2\cdot 1 \right)=\sin 2$
Ответ	$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\sin 2x=\sin 2$

Замечание. В граничных точках области определения вычисляются односторонние пределы.

Свойства пределов функций

1. Константу можно выносить за знак предела:

$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,Cf\left( x \right)=C\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right),\ C=\text{const}$

Пример.

$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x \right)=2\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,x=2\cdot 2=4$

2. Предел произведения функций равен произведению пределов от каждого из сомножителей при условии, что последние пределы существуют:

$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ f\left( x \right)\cdot g\left( x \right) \right]=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\cdot \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)$

Пример.

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\cos x\left( x+1 \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\cos x\cdot \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( x+1 \right)=\cos 0\cdot \left( 0+1 \right)=1\cdot 1=1$

3. Для непрерывных функций знак предельного перехода и знак функции можно менять местами:

$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( g\left( x \right) \right)=f\left( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right) \right)$

Пример.

$\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,x\sin x=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,x\cdot \underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\sin x=-1\cdot \sin \left( \underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,x \right)=-\sin \left( -1 \right)=\sin 1$

Таблица пределов функций

1. Предел константы равен этой константе:

$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,C=C,\ C=\text{const}$

где $a$ – некоторое действительное число, конечное или бесконечное.

2. Предел коренной функции $y=\sqrt[n]{x}$ :

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{x}=+\infty$ , для любого натурального n

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{x}=-\infty ,\ n=\text{3,}\ \text{5,}\ \text{7,}...$

$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a},\ a\in D\left( y \right),\ n\in N$

3. Предел степенной функции $y={{x}^{\alpha }}$ :

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{\alpha }}=\left\{ \begin{matrix} & +\infty ,\ \alpha >0; \\ & 0,\ \alpha <0; \\ \end{matrix} \right.$

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{\alpha }}=\left\{ \begin{matrix} & +\infty ,\ \alpha =2,\ 4,\ 6,...; \\ & 0,\ \alpha =-2,\ -4,\ -6,...; \\ \end{matrix} \right. \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{\alpha }}=\left\{ \begin{matrix} & -\infty ,\ \alpha =1,\ 3,\ 5,...; \\ & 0,\ \alpha =-1,\ -3,\ -5,...; \\ \end{matrix} \right.$

$\underset{x\to 0-0}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{\alpha }}=+\infty ,\ \alpha =-2,\ -4,\ -6,...; \quad \underset{x\to 0-0}{\mathop{\lim }}\,x^{\alpha }=-\infty ,\ \alpha =-1,\ -3,\ -5,...$

$\underset{x\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{\alpha }}=+\infty ,\ \alpha <0$

$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{\alpha }}={{a}^{\alpha }},\ a\in D\left( y \right),\ \alpha \ne 0$

4. Предел показательной функции $y={{a}^{x}},\ a>0,\ a\ne 1$ :

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}^{x}}=\left\{ \begin{matrix} & +\infty ,\ 0<a<1, \\ & 0,\ a>1; \\ \end{matrix} \right.\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}^{x}}=\left\{ \begin{matrix} & 0,\ 0<a<1, \\ & +\infty ,\ a>1; \\ \end{matrix} \right.$

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,{{a}^{x}}={{a}^{{{x}_{0}}}},\ {{x}_{0}}\in D\left( y \right),\ a>0,\ a\ne 1$

5. Предел логарифмической функции $y={{\log }_{a}}x,\ a>0,\ a\ne 1$ :

$\underset{x\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,{{\log }_{a}}x=\left\{ \begin{matrix} & +\infty ,\ 0<a<1, \\ & -\infty ,\ a>1; \\ \end{matrix} \right.$

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\log }_{a}}x=\left\{ \begin{matrix} & -\infty ,\ 0<a<1, \\ & +\infty ,\ a>1; \\ \end{matrix} \right.$

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,{{\log }_{a}}x=={{\log }_{a}}{{x}_{0}},\ {{x}_{0}}\in D\left( y \right),\ a>0,\ a\ne 1$

6. Предел тригонометрических функций:

$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sin x,\ \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\cos x,\ \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\text{tg}\ x,\ \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\text{ctg}\ x$ не существуют;

$\underset{x\to \frac{\pi }{2}+\pi k-0}{\mathop{\lim }}\,\text{tg}\ x=+\infty , \quad \underset{x\to \frac{\pi }{2}+\pi k+0}{\mathop{\lim }}\,\text{tg}\ x=-\infty$

$\underset{x\to \pi k-0}{\mathop{\lim }}\,\text{ctg}\ x=-\infty , \quad \underset{x\to \pi k+0}{\mathop{\lim }}\,\text{ctg}\ x=+\infty$

$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\sin x=\sin a,\ \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\cos x=\cos a,\ \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\text{tg}\ x=\text{tg}\ a,\ \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\text{ctg}\ x=\text{ctg}\ a,\ a\in D\left( y \right)$

7. Предел обратных тригонометрических функций:

$\underset{x\to -1+0}{\mathop{\lim }}\,\arcsin x=-\frac{\pi }{2},\ \underset{x\to 1-0}{\mathop{\lim }}\,\arcsin x=\frac{\pi }{2}, \quad \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\arcsin x=\arcsin a,\ a\in D\left( \arcsin x \right)$

$\underset{x\to -1+0}{\mathop{\lim }}\,\arccos x=\pi ,\ \underset{x\to 1-0}{\mathop{\lim }}\,\arccos x=0, \quad \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\arccos x=\arccos a,\ a\in D\left( \arccos x \right)$

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\text{arctg}\ x=-\frac{\pi }{2},\ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\text{arctg}\ x=\frac{\pi }{2}, \quad \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\text{arctg}\ x=\text{arctg}\ a,\ a\in D\left( \text{arctg}\ x \right)$

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\text{arcctg}\ x=\pi ,\ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\text{arcctg}\ x=0, \quad \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\text{arcctg}\ \ x=\text{arcctg}\ \ a,\ a\in D\left( \text{arcctg}\ \ x \right)$

Примеры решения задач

ПРИМЕР

Задание	Вычислить предел $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2}{{{x}^{2}}-3}$
Решение	Данный предел неопределенности не имеет, так как и числитель и знаменатель функции, стоящей под знаком предела, при $x=2$ равны конечным значениям: $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2}{{{x}^{2}}-3}=\frac{2+2}{{{2}^{2}}-3}=\frac{4}{1}=4$
Ответ