Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Числовая последовательность и ее предел

Определения числовых последовательностей

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел {{x}_{1}},\ {{x}_{2}},...,\ {{x}_{n}}, следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого {{x}_{n}} задается как функция целочисленного аргумента n, то есть {{x}_{n}}=f\left( n \right).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Число a называется пределом последовательности \left\{ {{x}_{n}} \right\}, если для любого числа \varepsilon >0 существует такой номер {{n}_{0}}={{n}_{0}}\left( \varepsilon  \right), что при n\ge {{n}_{0}} выполняется неравенство \left| {{x}_{n}}-a \right|<\varepsilon.

Если число a – это предел последовательности \left\{ {{x}_{n}} \right\}, то это обозначают как \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=a=\underset{n}{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=a, или {{x}_{n}}\to a при n\to \infty, или {{x}_{n}}\xrightarrow[n\to \infty ]{}a

Теоремы числовых последовательностей

ТЕОРЕМА 1
Числовая последовательность не может иметь более одного предела.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. В противном случае числовая последовательность называется расходящейся.

Для сходящихся числовых последовательностей имеют место следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 2
Предел суммы/разности двух последовательностей равен сумме/разности пределов от каждой из них, если последние существуют:

    \[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}_{n}}\pm {{y}_{n}} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}\pm \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{y}_{n}}\]

Пример:

    \[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{n}+\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}+\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{n}^{2}}}=0+0=0\]

ТЕОРЕМА 3
Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов от каждой из них, если пределы сомножителей существуют:

    \[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}_{n}}\cdot {{y}_{n}} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}\cdot \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{y}_{n}}\]

Пример:

    \[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2}{n} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 2\cdot \frac{1}{n} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,2+\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}=2+0=2\]

ТЕОРЕМА
Предел отношения двух последовательностей равен отношению пределов от каждой из них, если эти пределы существуют и предел знаменателя не равен нулю:

    \[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}_{n}}}{{{y}_{n}}}=\frac{\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}}{\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{y}_{n}}},\ \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{y}_{n}}\ne 0\]