Давление под искривленной поверхностью жидкости

Давление под искривленной поверхностью. Формула Лапласа

Под искривленной поверхностью жидкости помимо внутреннего давления создается еще дополнительное давление, обусловленное кривизной поверхности.

Избыточное давление под искривленной поверхностью жидкости определяется формулой Лапласа:

$\Delta p=\sigma \left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)$

где $\sigma -$ коэффициент поверхностного натяжения жидкости;

$R_1$ и $R_2-$ радиусы кривизны двух нормальных сечений жидкости.

Для сферической поверхности, когда $R_1=R_2$ , формула Лапласа имеет вид:

$\Delta p=\frac{2\sigma}{R}\$

Формула Лапласа для искривленной поверхности жидкости

Если поверхность жидкости плоская, то все силы, действующие на каждую молекулу $M_1$ поверхностного слоя, параллельны друг другу и оказывают на поверхность жидкости молекулярное давление $p_0$ . При этом вклад сил поверхностного натяжения ${\overrightarrow{F}}_s$ в это молекулярное давление равен нулю, так как на плоской поверхности эти силы противоположно направлены и компенсируют друг друга (рис.1, а).

Если поверхность жидкости по каким-либо причинам искривлена, то силы поверхностного натяжения ${\overrightarrow{F}}_s$ , действующие на молекулу $M_1$ поверхностного слоя, уже не параллельны, а направлены под углом и поэтому не компенсируют друг друга. Равнодействующая сил поверхностного натяжения в данном случае не равна нулю и направлена к центру кривизны поверхности жидкости. В результате появляется дополнительное молекулярное давление $\Delta p$ , величина которого определяется формулой Лапласа. Направление дополнительного молекулярного давления совпадает с направлением равнодействующей сил поверхностного натяжения, то есть это давление всегда направлено к центру кривизны поверхности жидкости, а потому для выпуклой поверхности оно положительно, а для вогнутой поверхности – отрицательно. В результате молекулярное давление под выпуклой поверхностью жидкости всегда больше (рис.1, б), а под вогнутой поверхностью всегда меньше (рис.1, в), чем под плоской поверхностью жидкости:

$p_{out}=p_0+\Delta p;$

$p_{in}=p_0-\Delta p$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Под каким давлением находится воздух внутри пузырька радиусом $5\cdot {10}^{-3}$ мм, расположенного под поверхностью воды?

Решение

Давление воздуха в пузырьке:

$p=p_a+\Delta p$

где $p_a-$ атмосферное давление, $\Delta p-$ избыточное давление, обусловленное кривизной поверхности.

Избыточное давление определяется по формуле Лапласа для сферической поверхности:

$\Delta p=\frac{2\sigma}{R}$

Окончательно имеем:

$p=p_a+\frac{2\sigma}{R}\$

Атмосферное давление (нормальное) $p_a=1,01\cdot {10}^5\ Pa$ . Коэффициент поверхностного натяжения воды $\sigma =7,4\cdot {10}^{-2}\ {N}/{m}$ .

Переведем единицы в систему СИ: радиус пузырька $R=5\cdot {10}^{-3}\ mm=5\cdot {10}^{-6}\ m$ .

Вычислим:

$p=1,01\cdot {10}^5+\frac{2\cdot 7,4\cdot {10}^{-2}}{5\cdot {10}^{-6}}=1,3\cdot {10}^5\ Pa$

Ответ

Воздух внутри пузырька находится под давлением $1,3\cdot {10}^5\ Pa$ .

ПРИМЕР 2

Задание

Какую работу надо произвести, чтобы выдуть мыльный пузырь $\left(\sigma =0,04\ {N}/{m}\right)$ диаметром d=14 см, если процесс выдувания изотермический? Чему равно избыточное давление внутри этого пузыря?

Решение

Работа по выдуванию мыльного пузыря равна изменению свободной поверхности мыльного раствора от нуля до поверхности образованного в результате выдувания пузыря:

$A=\Delta W=\sigma S=\sigma \pi d^2\$