Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Условие равновесия тела

Условие равновесия невращающегося тела

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тело, не имеющее оси вращения, находится в состоянии равновесия, если геометрическая сумма действующих на него сил равна нулю:

    \[\sum_i{{\overline{F}}_i}=0\]

Это правило можно сформулировать по-другому:

Чтобы невращающееся тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы сумма проекций приложенных к нему сил на любую ось была равна нулю:

    \[\left\{ \begin{array}{c} \sum_i{F_{x,i}=0} \\  \sum_i{F_{y,i}=0} \\ \sum_i{F_{z,i}=0} \end{array} \right.\ \ \]

При вычислении равнодействующей (геометрической суммы сил) все силы приводятся к одной точке.

Рис.1. Равновесие тела, не имеющего оси вращения

На рисунке 1 показано тело, подвешенное на тросах к двум опорам. В данном случае равнодействующая сил натяжения первого и второго троса {\overline{T}}_1 и {\overline{T}}_2 уравновешивается силой тяжести m\overline{g} .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Деревянный брусок лежит на наклонной плоскости. С какой силой нужно прижать брусок к наклонной плоскости, чтобы он оставался на ней в покое? Масса бруска 2 кг, длина наклонной плоскости 1 м, высота 60 см. Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость равен 0,4.
Решение На брусок на наклонной плоскости действуют сила тяжести m\overline{g} , сила реакции опоры \overline{N} , сила трения {\overline{F}}_{fr} и внешняя сила \ \overline{F} , прижимающая брусок к наклонной плоскости.

Брусок не может вращаться. Поэтому для того, чтобы брусок находился в покое, должно выполняться условие равновесия для тела, не имеющего оси вращения:

    \[m\overline{g}+\overline{N}+{\overline{F}}_{fr}+\overline{F}=0\]

Выбрав направления осей x и y и спроектировав на них условие равновесия, получим:

    \[\left\{ \begin{array}{c} mg\sin\varphi -F_{fr}=0 \\  N-mg\cos\varphi -F=0\ \end{array} \right\]

или

    \[\left\{ \begin{array}{c} F_{fr}=mg\sin\varphi \\ N-F-mg\cos\varphi =0 \end{array} \right\]

Сила трения:

    \[F_{fr}=\mu N\]

поэтому можно записать:

    \[mg\sin\varphi =\mu N\]

откуда сила реакции опоры:

    \[N=\frac{mg\sin\varphi }{\mu }\]

Подставив последнее выражение во второе уравнение системы, найдем внешнюю силу F:

    \[F=\frac{mg\sin\varphi }{\mu }-mg\cos\varphi =mg\left(\frac{\sin\varphi }{\mu }-\cos\varphi \right)\]

Из геометрии задачи:

    \[{\sin \varphi =\frac{h}{l};\ \ {\cos \varphi =\frac{\sqrt{h^2-l^2}}{l}\ }\ }\]

Поэтому внешняя сила:

    \[F=\frac{mg}{l}\left(\frac{h}{\mu }-\sqrt{h^2-l^2}\right)\]

Переведем высоту наклонной плоскости в систему СИ: h=60 см =0,6 м

Ускорение свободного падения g=9,8 м/с ^{2}.

Вычислим:

    \[F=\frac{2\cdot 9,8}{1}\cdot \left(\frac{0,6}{0,4}-\sqrt{1^2-{0,6}^2}\right)=13,7\ H\]

Ответ К бруску нужно приложить силу 13,7 Н.
ПРИМЕР 2
Задание Электрическая лампа массой 2 кг подвешена к потолку на шнуре AB, а затем оттянута к стене веревкой BC. Определить натяжение шнура AB и веревки BC, если углы соответственно равны \alpha ={60}^\circ,\ \beta ={135}^\circ.
Решение Выполним рисунок и укажем силы, действующие на лампу.

Запишем условие равновесия:

    \[m\overline{g}+{\overline{T}}_1+{\overline{T}}_2=0\ \]

Выберем координатные оси, как показано на рисунке, и спроектируем уравнение на направления осей координат:

    \[\left\{ \begin{array}{c} T_2{\cos \alpha -T_1{\cos \left({90}^\circ-\beta \right)=0\ }\ } \\  T_2{\sin \alpha -T_1{\sin \left({90}^\circ-\beta \right)-mg=0\ \ }\ } \end{array} \right\]

или

    \[\left\{ \begin{array}{c} T_2{\cos \alpha -T_1{\sin\ \beta =0\ }\ } \\  T_2{\sin \alpha -T_1{\cos\ \beta =mg\ \ }\ } \end{array} \right.\]

Из первого уравнения:

    \[T_2=\frac{\sin\ \beta }{{\cos \alpha \ }}T_1\]

Подставив это выражение во второе уравнение, получим:

    \[\frac{\sin\ \beta }{{\cos \alpha \ }}T_1-T_1{\cos\ \beta =mg;\ \ }\]

    \[T_1\left(\frac{\sin\ \beta }{{\cos \alpha \ }}-\cos\ \beta \right)=mg;\]

откуда натяжение веревки BC:

    \[T_1=\frac{{\cos \alpha \ }}{(\sin\beta -\cos\alpha \cos\beta )}\cdot mg\]

Ускорение свободного падения g=9,8 м/с ^{2}.

Вычислим:

    \[T_1=\frac{{\cos {60}^\circ\ }}{\left({\sin {135}^\circ-{\cos {60}^\circ\ }\cdot {\cos {135}^\circ\ }\ }\right)}\cdot 2\cdot 9,8=10,2\ H\]

    \[T_2=\frac{{\sin {135}^\circ\ }}{{\cos {60}^\circ\ }}\cdot 10,2=14,3\ H\]

Ответ Сила натяжения веревки BC \ 10,2 Н, сила натяжения шнура AB \ 14,3 Н.