Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Условие равновесия тела на закрепленной оси вращения

Условие равновесия вращающегося тела

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:

    \[\sum_i{M_i=0}\]

Рис.1. Равновесие тела на закрепленной оси вращения

Для равновесия тела на закрепленной оси вращения O (рис.1) должно выполняться условие:

    \[M_2+M_1=0\]

или

    \[F_2d_2-F_1d_1=0\]

Следует отметить, что в общем случае, когда тело может двигаться поступательно и вращаться, для равновесия необходимо выполнение обоих условий: равенство нулю равнодействующей силы и равенство нулю алгебраической суммы всех моментов.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Лестница длиной 4 м приставлена к идеально гладкой стене под углом 60^{\circ} к горизонту. Коэффициент трения между лестницей и полом 0,33. На какое расстояние вдоль лестницы может подняться человек, прежде чем лестница начнет скользить? Массой лестницы пренебречь.
Решение Выполним рисунок и укажем все силы, действующие на лестницу.

На лестницу действуют сила давления человека на лестницу \overline{F}, сила трения {\overline{F}}_{fr}, силы нормальной реакции стены {\overline{N}}_1 и пола {\overline{N}}_2.

Скольжение лестницы можно рассматривать как комбинацию двух движений: 1) поступательного движения в направлении, противоположном направлению оси x; 2) вращательного движения вокруг точки соприкосновения лестницы с полом O.

Первое условие равновесия лестницы имеет вид:

    \[\overline{F}+{\overline{F}}_{fr}+{\overline{N}}_1+{\overline{N}}_2=0\]

Выберем направления координатных осей. как показано на рисунке. и спроектируем это уравнение на оси координат:

    \[\left\{ \begin{array}{c} F_{fr}-N_1=0 \\  N_2-F=0\ . \end{array} \right\]

Определим моменты сил. Сила {\overline{N}}_2 не создает момента, так как линия действия этой силы проходит через ось вращения.

Сила {\overline{N}}_1 вращает лестницу против часовой стрелки, следовательно, момент, созданный этой силой, отрицателен.

Момент силы {\overline{N}}_1:

    \[M_1={-N}_1\cdot l\sin\alpha \]

Сила \overline{F} создает вращение по часовой стрелке, момент этой силы положителен:

    \[M_2=F\cdot h\cos\alpha \]

Второе условие равновесия лестницы:

    \[F\cdot h\cos\alpha {-N}_1\cdot l\sin\alpha =0\]

откуда расстояние вдоль лестницы, на которое может подняться человек:

    \[h=\frac{N_1\cdot l\sin\alpha }{F\cos\alpha }=\frac{N_1l}{F}\cdot \text{tg}\alpha .\ \]

Из первого уравнения системы:

    \[N_1=F_{fr}\]

учитывая, что сила трения

    \[F_{fr}=\mu N_2\]

а из второго уравнения системы

    \[N_2=F\]

получим:

    \[N_1=\mu F\]

Подставив последнее соотношение в формулу расстояния вдоль лестницы, на которое поднялся человек, имеем:

    \[h=\frac{\mu Fl}{F}\cdot \text{tg}\alpha =\mu l\text{tg}\alpha \]

Вычислим:

    \[h=0,33\cdot 4\cdot \text{tg}{60}^\circ=0,8\ м\]

Ответ Человек может подняться вдоль лестницы на расстояние 0,8 м.
ПРИМЕР 2
Задание На нити длиной 1 м висит шар радиусом 5 см, опирающийся на вертикальную стенку. Нить образует со стенкой угол 30^{\circ} и касается шара в точке C. Определить коэффициент трения шара об стенку.
Решение На шар действуют сила тяжести m\overline{g}, сила реакции стенки \overline{N}, сила натяжения нити \overline{T} и сила трения {\overline{F}}_{fr}.

Шар может скользить вдоль стены и вращаться вокруг точки C .

Первое условие равновесия для шара:

    \[m\overline{g}+\overline{N}+\overline{T}+{\overline{F}}_{fr}=0\]

Выбрав координатные оси, как показано на рисунке, спроектируем на них это уравнение:

    \[\left\{ \begin{array}{c} N-T\sin\alpha =0 \\  -mg+T\cos\alpha +F_{fr}=0\  \end{array} \right\]

Определим моменты сил. Сила натяжения шнура \overline{T} не создает момента, так как приложена в точке C. Сила трения создает положительный момент M_1, так как вращает шар по часовой стрелке:

    \[M_1=F_{fr}\cdot l\sin\alpha \]

Сила тяжести создает вращение против часовой стрелки, поэтому момент силы тяжести M_2 отрицательный:

    \[M_2=-mgR\cos\alpha \]

Момент силы реакции стенки M_3 тоже отрицательный, так как эта сила также создает вращение против часовой стрелки:

    \[M_3=-NR\sin\alpha \]

Второе условие равновесия для шара будет иметь вид:

    \[F_{fr}\cdot l\sin\alpha -mgR\cos\alpha -NR\sin\alpha =0\]

Из системы уравнений исключаем T. Для этого умножим первое уравнение на \cos\alpha, а второе на \sin\alpha:

    \[\left\{ \begin{array}{c} N\cos\alpha -T\sin\alpha \cos\alpha =0 \\  -mg\sin\alpha +T\sin\alpha \cos\alpha +F_{fr}\sin\alpha =0\  \end{array} \right\]

Складывая уравнения, получим:

    \[N\cos\alpha -mg\sin\alpha +F_{fr}\sin\alpha =0\ \]

Вместе со вторым условием равновесия последнее уравнение образует систему:

    \[\left\{ \begin{array}{c} N\cos\alpha -mg\sin\alpha +F_{fr}\sin\alpha =0 \\  F_{fr}\cdot l\sin\alpha-mgR\cos\alpha -NR\sin\alpha =0 \end{array} \right\]

Учитывая, что F_{fr}=\mu N, перепишем эту систему в виде:

    \[\left\{ \begin{array}{c} N\cos\alpha -mg\sin\alpha +\mu N\sin\alpha =0 \\  \mu N\cdot l\sin\alpha -mgR\cos\alpha -NR\sin\alpha =0 \end{array} \right\]

Умножим первое уравнение системы на R\cos\alpha, а второе на \left(-\sin\alpha \right):

    \[\left\{ \begin{array}{c} N{R\cos}^2\alpha -mgR\sin\alpha \cos\alpha +\mu NR\sin\alpha \cos\alpha =0 \\  -\mu N\cdot l{\sin}^2\alpha +mgR\sin\alpha \cos\alpha +NR{\sin}^2\alpha =0 \end{array} \right\]

Сложив уравнения, имеем:

    \[NR{\cos}^2\alpha -\mu N\cdot l{\sin}^2\alpha +\mu NR\sin\alpha \cos\alpha +NR{\sin}^2\alpha =0\]

или

    \[{R\cos}^2\alpha -\mu l{\sin}^2\alpha +\mu R\sin\alpha \cos\alpha +R{\sin}^2\alpha =0\]

Далее находим из уравнения коэффициент трения:

    \[R\left({\cos}^2\alpha +{\sin}^2\alpha \right)=\mu \left(l{\sin}^2\alpha -R\sin\alpha \cos\alpha \right)\]

Из тригонометрии известно, что {\cos}^2\alpha +{\sin}^2\alpha =1 и 2\sin\alpha \cos\alpha =\sin2\alpha

С учетом последнего:

    \[\mu =\frac{R}{l{\sin}^2\alpha -\frac{R}{2}\sin2\alpha }\]

Переведем единицы в систему СИ. Радиус шара R=5 см =0,05 м.

Вычислим:

    \[\mu =\frac{0,05}{1\cdot {\sin}^2{30}^\circ-\frac{0,05\cdot \sin{60}^\circ}{2}}=0,22\]

Ответ Коэффициент трения шара об стенку 0,22.