Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Центр тяжести и центр масс тела

Центр тяжести тела

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Центр тяжести — это такая точка приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на все части тела, которая не изменяет своего положения при любых переворотах тела.

Положение центра тяжести тела можно определить экспериментально. Для этого достаточно поочередно подвесить тело за две различные точки на его поверхности и провести через точки подвеса вертикали. Пересечение этих линий — линий действия сил тяжести — и определяет положение центра тяжести тела.

Центр масс тела

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Центр масс — это геометрическая точка, положение которой характеризует распределение масс в теле.

Координаты центра масс определяются формулами:

    \[x_c=\frac{m_1x_1+m_2x_2+\dots +m_nx_n}{m_1+m_2+\dots +m_n};\]

    \[y_c=\frac{m_1y+m_2y+\dots +m_ny_n}{m_1+m_2+\dots +m_n};\]

У однородных симметричных тел центр масс располагается в геометрическом центре тела: у круга (сферы) в его центре, у треугольника — в точке пересечения медиан, у прямоугольника — в точке пересечения диагоналей.

Механическая система всегда находится в равновесии относительно оси вращения, проходящей через ее центр масс.

В отличие от центра тяжести центр масс имеет смысл для любого тела или механической системы в то время, как центр тяжести — только для твердого тела, находящегося в однородном гравитационном поле.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Два шара массами 3 и 5 кг скреплены стержнем, масса которого 2 кг. Определить положение общего центра масс системы, если радиус первого шара 5 см, радиус второго шара 7 см, а длина стержня 30 см.
Решение Выполним рисунок.

Запишем условие равновесия системы относительно оси, проходящей через ее центр масс C :

    \[-M_1+M_2-M_3=0\]

Моменты, созданные силами тяжести:

    \[M_1=m_1g\left(\frac{l}{2}+R_1+x\right);\]

    \[M_2=m_2g\left(R_2+\frac{l}{2}-x\right);\]

    \[M_3=m_3gx;\]

Подставим значения моментов в условие равновесия:

    \[{-m}_1g\left(\frac{l}{2}+R_1+x\right)+m_2g\left(R_2+\frac{l}{2}-x\right)-m_3gx=0;\]

    \[\frac{m_1l}{2}+m_1R_1+m_1x-m_2R_2-\frac{m_2l}{2}+m_2x+m_3x=0;\]

    \[x\left(m_1+m_2+m_3\right)=m_2R_2-m_1R_1+\frac{l}{2}\left(m_2-m_1\right);\]

    \[x=\frac{m_2R_2-m_1R_1+\frac{l}{2}\left(m_2-m_1\right)}{m_1+m_2+m_3}\]

Переведем единицы в систему СИ: R_1=5 см =0,05 м; R_2=7 см =0,07 м.

Вычислим:

    \[x=\frac{5\cdot 0,07-3\cdot 0,05+\frac{0,3}{2}\left(5-3\right)}{3+5+2}=0,05\ m\]

Ответ Центр тяжести системы находится на расстоянии 5 см от середины стержня в сторону большего шара.