Способы описания движения тела

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Кинематическое описание движения – это задание положения тела относительно данной системы отсчета в любой момент времени или, другими словами, задание закона движения тела.

Существует три основных способа описания механического движения: векторный, координатный и естественный. Выбор способа описания зависит от условий конкретной задачи.

Векторный способ описания движения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Векторный способ описания движения – это описание изменения радиус-вектора материальной точки в пространстве с течением времени.

Рассмотрим движение точки $M$ в некоторой системе отсчета $Oxyz$ (рис.1). Зададим радиус-вектор точки $\overline{r}$ — вектор, соединяющий начало координат с этой точкой.

При движении точки $M$ вектор $\overline{r}$ будет с течением времени изменяться, т.е. будет каким-то образом зависеть от времени. Эта зависимость $\overline{r}=\overline{r}(t)$ представляет собой закон движения в векторном виде.

В процессе движения конец радиус-вектора будет описывать траекторию, а его изменение – перемещение $\overline{s}$ точки.

Координатный способ описания движения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Координатный способ описания движения – описание изменения во времени координат точки в выбранной системе отсчета.

При координатном способе положение точки в пространстве задается тремя координатами (рис.2). Выбор системы координат зависит от конкретной задачи. Можно работать в декартовой (прямоугольной) системе, иногда удобнее бывает сферическая или цилиндрическая системы координат.

В декартовой системе координат положение точки определяется тройкой чисел $(x,y,z)$ — ее декартовыми координатами.

Чтобы задать закон движения точки, необходимо знать значения ее координат в каждый момент времени. Закон движения в координатном виде в общем случае представляет собой систему трех уравнений:

$\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{cases}$

Между векторным и координатным способом описания движения существует непосредственная связь, а именно: числовые значения проекций радиус-вектора движущейся точки на координатные оси системы с тем же началом отсчета равны координатам точки:

$r_{x}=x \text{ };\text{ } r_{y}=y \text{ };\text{ } r_{z}=z$

Естественный способ описания движения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Естественный способ описания движения – описание движения вдоль траектории. Этим способом пользуются, когда траектория точки заранее известна.

Пусть точка $M$ движется вдоль траектории $AB$ в системе отсчета $Oxyz$ (рис.3). Выберем на траектории какую-нибудь неподвижную точку $O'$ , которую будем считать началом отсчета, и определим положительное и отрицательное направления. Тогда положение точки M будет определяться расстоянием $s$ от точки $O'$ . При движении точка $M$ переместится в точку $M'$ , соответственно изменится ее расстояние от точки $O'$ . Таким образом, расстояние $s$ зависит от времени, а характер этой зависимости позволит определить положение точки $M$ на траектории в любой момент времени. Закон движения в этом случае имеет вид: $s=s(t)$ .

Примеры решения задач по теме «Способы описания движения»

ПРИМЕР 1

Задание

Тело переместилось из точки $A$ с координатами $(1;4)$ в точку $B$ с координатами $(4;-2)$ . Сделать чертеж. На чертеже показать радиус-векторы. Определить перемещение и его проекции на оси координат.

Решение

Сделаем чертеж

$\overline{OA}$ – радиус-вектор точки $A$ , $\overline{OB}$ – радиус-вектор точки $B$ .

Вектор $\overline{AB}$ — вектор перемещения.

Проекции вектора перемещения на координатные оси на чертеже выделены зеленым цветом и равны $3$ (проекция на ось $Ox$ ) и $-6$ (проекция на ось $Oy$ ).

Модуль вектора перемещения:

$|\overline{AB}| = \sqrt{3^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45} \approx 6,7$ (масштабных единиц)

Ответ

Перемещение тела равно 6,7 масштабных единиц.

ПРИМЕР 2

Задание

Тело начало движение из точки $S_0=0$ , дошло до точки $S_1=8$ м, затем начало двигаться обратно и дошло до точки $S_2=-12$ м. Считая движение прямолинейным, показать на чертеже расположение точек на траектории. Определить перемещение тела и расстояние, которое тело прошло за время движения.