Равномерное прямолинейное движение

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Равномерное прямолинейное движение – это движение, при котором тело за равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.

В этом случае траекторией движения является прямая. Скорость тела остается постоянной как по модулю, так и по направлению: $\overline{v} = \text{const}$ .

Закон движения в случае равномерного прямолинейного движения имеет вид:

$\overline{r} = \overline{r_{0}} + \overline{v} t$

где $\overline{r}$ — радиус-вектор точки в момент времени $t$ , $\overline{r_{0}}$ — радиус-вектор начального положения точки, $\overline{v}$ — скорость.

В одномерном случае закон движения запишется в виде:

$x=x_{0}+v_{x}t$

В случае движения на плоскости закон движения запишется в виде системы двух уравнений:

$\begin{cases} x=x_{0}+v_{x}t \\ y=y_{0}+v_{y}t \end{cases}$

Так как при равномерном прямолинейном движении направление скорости не меняется, то в этом случае путь всегда равен модулю перемещения:

$s = |v_{x}|t$

Изобразим графически зависимость кинематических величин от времени (рис.1).

На рис.1 (а) представлены графики зависимости скоростей трех тел от времени. Тело 1 движется со скоростью $\overline{v}_1$ в направлении оси $x$ , тело 2 находится в состоянии покоя, тело 3 движется со скоростью $\overline{v}_3$ в направлении, противоположном оси $x$ . Площадь заштрихованного прямоугольника численно равна пути (модулю перемещения), пройденному телом 1 за некоторое время $t_1$ .

Графики движения (зависимости координат тела от времени) изображены на рис.1 (б). На рис.1 (в) представлены графики зависимости перемещений этих тел от времени. По наклону графика перемещения к оси времени можно определить скорость движения тела:

$\text{tg } \alpha = v_{x}$

Графики пройденного пути для каждого из трех тел изображены на рис. 1 (г).

Для нахождения уравнения траектории нужно исключить время из уравнений и получить зависимость $y=y(x)$ .

Примеры решения задач по теме «Равномерное прямолинейное движение»

ПРИМЕР 1

Задание

От заправочной станции отправился автобус со скоростью 54 км/ч. Через 5 мин вслед за ним выехал легковой автомобиль со скоростью 72 км/ч. Через какое время и на каком расстоянии от заправочной станции автомобиль догонит автобус?

Решение

1) Аналитический способ.

Совмести начало координат с положением заправочной станции и направим ось $x$ по направлению движения автомобиля.

Автомобиль и автобус совершают равномерное прямолинейное движение, закон движения в этом случае имеет вид:

$x=x_{0}+v_{x}t$

Так как и автобус, и автомобиль отправились от заправочной станции, начальные координаты для них равны нулю $(x_0=0)$ .

Уравнение движения автобуса:

$x_{1}=v_{1}t$

Автомобиль выехал на $\Delta t$ секунд позже, поэтому уравнение движения автомобиля:

$x_{2}=v_{2} (t - \Delta t)$

В момент, когда автомобиль догонит автобус, их координаты будут равны:

$v_{1}t=v_{2} (t - \Delta t)$

Из последнего соотношения находим время, через которое автомобиль догонит автобус:

$v_{1}t=v_{2} t - v_{2} \Delta t$

$(v_{2}-v_{1}) t = v_{2} \Delta t$

$t=\frac{v_{2} \Delta t}{v_{2}-v_{1}}$

Переведем значения физических величин в систему СИ. Время в системе СИ измеряется в секундах, поэтому $\Delta t = 5$ мин $=300$ с. Скорость в системе СИ измеряется в м/с,поэтому $v_1=54$ км/ч $=15$ м/с, $v_2=72$ км/ч $=20$ м/с.

Вычислим время, через которое автомобиль догонит автобус:

(минут)

Подставим это значение времени в любое из уравнений движения и вычислим расстояние от заправочной станции. на котором одно транспортное средство догонит другое:

$x=15 \cdot 1200 = 18000$ м $= 18$ км

2) Графический способ.

Запишем законы движения для автобуса и автомобиля:

$x_{1}=v_{1}t$

$x_{2}=v_{2} (t - \Delta t)$

и построим графики в одной системе координат.

Координаты точки пересечения графиков дадут нам значения времени, когда автомобиль догонит автобус и расстояния от заправочной станции, на котором это произойдет. По графику видно, что $t=1200$ с и $x=18000$ м.

Ответ

Автомобиль догонит автобус через 20 минут и на расстоянии 18 км от заправочной станции.

ПРИМЕР 2

Задание

Движение материальной точки в данной системе отсчета описывается уравнениями $y=1+2t \text{ }, x=2+t$ . Найти уравнение траектории. Построить траекторию на плоскости $XOY$ . Указать положение точки $t=0$ , направление и скорость движения.

Решение

Выразим время из второго уравнения:

$t=x-2$

и подставим это выражение в первое уравнение:

$y=1+2(x-2)$

$y=2x-3$

Последнее выражение и есть уравнение траектории.

Определим положение точки $t=0: y=\text{ }1; x=2$ . Так как с ростом времени координаты растут, направление движения будет совпадать с направлением стрелки на рисунке.

Из уравнений движения определим компоненты вектора скорости: компоненты вектора скорости равны числовым коэффициентам при переменной $t$ в уравнениях движения. В данном случае компоненты скорости материальной точки:

$v_{x}=1$ м/с