Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Равномерное прямолинейное движение

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Равномерное прямолинейное движение – это движение, при котором тело за равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.

В этом случае траекторией движения является прямая. Скорость тела остается постоянной как по модулю, так и по направлению: \overline{v} = \text{const} .

Закон движения в случае равномерного прямолинейного движения имеет вид:

    \[    \overline{r} = \overline{r_{0}} + \overline{v} t \]

где \overline{r} — радиус-вектор точки в момент времени t , \overline{r_{0}} — радиус-вектор начального положения точки, \overline{v} — скорость.

В одномерном случае закон движения запишется в виде:

    \[    x=x_{0}+v_{x}t \]

В случае движения на плоскости закон движения запишется в виде системы двух уравнений:

    \[ \begin{cases} x=x_{0}+v_{x}t \\ y=y_{0}+v_{y}t \end{cases} \]

Так как при равномерном прямолинейном движении направление скорости не меняется, то в этом случае путь всегда равен модулю перемещения:

    \[ s = |v_{x}|t \]

Изобразим графически зависимость кинематических величин от времени (рис.1).

На рис.1 (а) представлены графики зависимости скоростей трех тел от времени. Тело 1 движется со скоростью \overline{v}_1 в направлении оси x, тело 2 находится в состоянии покоя, тело 3 движется со скоростью \overline{v}_3 в направлении, противоположном оси x . Площадь заштрихованного прямоугольника численно равна пути (модулю перемещения), пройденному телом 1 за некоторое время t_1 .

Графики движения (зависимости координат тела от времени) изображены на рис.1 (б). На рис.1 (в) представлены графики зависимости перемещений этих тел от времени. По наклону графика перемещения к оси времени можно определить скорость движения тела:

    \[ \text{tg } \alpha = v_{x} \]

Графики пройденного пути для каждого из трех тел изображены на рис. 1 (г).

Для нахождения уравнения траектории нужно исключить время из уравнений и получить зависимость y=y(x) .

Примеры решения задач по теме «Равномерное прямолинейное движение»

ПРИМЕР 1
Задание От заправочной станции отправился автобус со скоростью 54 км/ч. Через 5 мин вслед за ним выехал легковой автомобиль со скоростью 72 км/ч. Через какое время и на каком расстоянии от заправочной станции автомобиль догонит автобус?
Решение 1) Аналитический способ.

Совмести начало координат с положением заправочной станции и направим ось x по направлению движения автомобиля.

Автомобиль и автобус совершают равномерное прямолинейное движение, закон движения в этом случае имеет вид:

    \[    x=x_{0}+v_{x}t \]

Так как и автобус, и автомобиль отправились от заправочной станции, начальные координаты для них равны нулю (x_0=0) .

Уравнение движения автобуса:

    \[    x_{1}=v_{1}t \]

Автомобиль выехал на \Delta t секунд позже, поэтому уравнение движения автомобиля:

    \[    x_{2}=v_{2} (t - \Delta t) \]

В момент, когда автомобиль догонит автобус, их координаты будут равны:

    \[    v_{1}t=v_{2} (t - \Delta t) \]

Из последнего соотношения находим время, через которое автомобиль догонит автобус:

    \[    v_{1}t=v_{2} t - v_{2} \Delta t \]

    \[    (v_{2}-v_{1}) t = v_{2} \Delta t \]

    \[    t=\frac{v_{2} \Delta t}{v_{2}-v_{1}} \]

Переведем значения физических величин в систему СИ. Время в системе СИ измеряется в секундах, поэтому \Delta t = 5 мин =300 с. Скорость в системе СИ измеряется в м/с,поэтому v_1=54 км/ч =15 м/с, v_2=72 км/ч =20 м/с.

Вычислим время, через которое автомобиль догонит автобус:

(минут)

Подставим это значение времени в любое из уравнений движения и вычислим расстояние от заправочной станции. на котором одно транспортное средство догонит другое:

x=15 \cdot 1200 = 18000 м = 18 км

2) Графический способ.

Запишем законы движения для автобуса и автомобиля:

    \[    x_{1}=v_{1}t \]

    \[    x_{2}=v_{2} (t - \Delta t) \]

и построим графики в одной системе координат.

Координаты точки пересечения графиков дадут нам значения времени, когда автомобиль догонит автобус и расстояния от заправочной станции, на котором это произойдет. По графику видно, что t=1200 с и x=18000 м.

Ответ Автомобиль догонит автобус через 20 минут и на расстоянии 18 км от заправочной станции.
ПРИМЕР 2
Задание Движение материальной точки в данной системе отсчета описывается уравнениями y=1+2t \text{ },  x=2+t. Найти уравнение траектории. Построить траекторию на плоскости XOY. Указать положение точки t=0 , направление и скорость движения.
Решение Выразим время из второго уравнения:

    \[    t=x-2 \]

и подставим это выражение в первое уравнение:

    \[    y=1+2(x-2) \]

    \[    y=2x-3 \]

Последнее выражение и есть уравнение траектории.

Определим положение точки t=0: y=\text{ }1; x=2. Так как с ростом времени координаты растут, направление движения будет совпадать с направлением стрелки на рисунке.

Из уравнений движения определим компоненты вектора скорости: компоненты вектора скорости равны числовым коэффициентам при переменной t в уравнениях движения. В данном случае компоненты скорости материальной точки:

v_{x}=1 м/с

v_{y}=2 м/с

Скорость движения:

    \[    v = \sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}} \]

v = \sqrt{1^{2}+2^{2}} = 2,2 м/с

Ответ Уравнение траектории материальной точки y=2x-3, а скорость движения равна 2,2 м/с.