Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Импульс тела. Закон сохранения импульса

Определение импульса тела

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Импульс (количество движения) тела – это произведение массы тела m на скорость его движения \overline{v}, т.е. величина m\overline{v}.

Импульс \overline{p} — величина векторная, совпадающая по направлению с вектором скорости \overline{v}.

Единица измерения импульса в системе СИ: кг • м/с .

Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов всех тел, входящих в систему:

    \[\overline{p}=\sum^n_{i=1}{{\overline{p}}_i\ }\]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Импульс силы – это величина, равная произведению силы на время ее действия, т.е. величина \overline{F}\Delta t.

Закон сохранения импульса

Если на систему взаимодействующих тел действуют дополнительно внешние силы, например, силы трения, то в этом случае справедливо соотношение, которое иногда называют законом изменения импульса:

  • изменение импульса системы тел равно векторной сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему:

        \[\Delta \overline{p}=\sum^n_{i=1}{{\overline{F}}_i\Delta t}\]

Для замкнутой системы (при отсутствии внешних сил) справедлив закон сохранения импульса:

  • импульс замкнутой системы есть величина постоянная:

        \[\overline{p}=const\]

Действием закона сохранения импульса можно объяснить явление отдачи при стрельбе из винтовки или при артиллерийской стрельбе. Также действие закона сохранения импульса лежит в основе принципа работы всех реактивных двигателей.

При решении физических задач законом сохранения импульса пользуются, когда знание всех деталей движения не требуется, а важен результат взаимодействия тел. Такими задачами, к примеру, являются задачи о соударении или столкновении тел. Законом сохранения импульса пользуются при рассмотрении движения тел переменной массы таких, как ракеты-носители. Большую часть массы такой ракеты составляет топливо. На активном участке полета это топливо выгорает, и масса ракеты на этом участке траектории быстро уменьшается. Также закон сохранения импульса необходим в случаях, когда неприменимо понятие «ускорения». Трудно себе представить ситуацию, когда неподвижное тело приобретает некоторую скорость мгновенно. В обычной практике тела всегда разгоняются и набирают скорость постепенно. Однако при движении электронов и других субатомных частиц изменение их состояния происходит скачком без пребывания в промежуточных состояниях. В таких случаях классическое понятие «ускорения» применять нельзя.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в вагон с песком массой 10 т и застревает в нем. Какую скорость получит вагон, если он двигался со скоростью 36 км/ч в направлении, противоположном движению снаряда?
Решение Система вагон+снаряд является замкнутой, поэтому в данном случае можно применить закон сохранения импульса.

Выполним рисунок, указав состояние тел до и после взаимодействия.

При взаимодействии снаряда и вагона имеет место неупругий удар. Закон сохранения импульса в этом случае запишется в виде:

    \[m_1{\overline{v}}_1+m_2{\overline{v}}_2=\left(m_1+m_2\right)\overline{u}\ \]

Выбирая направление оси x совпадающим с направлением движения вагона, запишем проекцию этого уравнения на координатную ось:

    \[m_1v_1-m_2v_2=\left(m_1+m_2\right)u\]

откуда скорость вагона после попадания в него снаряда:

    \[u=\frac{m_1v_1-m_2v_2}{m_1+m_2}\]

Переводим единицы в систему СИ: m_{1}=10 т =10000 кг.

v_{1}=36 км/ч = 10 м/с

Вычислим:

    \[u=\frac{10000\cdot 10-100\cdot 500}{10000+100}=5\ {m}/{c}\]

Ответ После попадания снаряда вагон будет двигаться со скоростью 5 м/с.
ПРИМЕР 2
Задание Снаряд массой m=10 кг обладал скоростью v=200 м/с в верхней точке траектории. В этой точке он разорвался на две части. Меньшая часть массой m1=3 кг получила скорость v1=400 м/с в прежнем направлении под углом \varphi ={60}^\circ к горизонту. С какой скоростью и в каком направлении полетит большая часть снаряда?
Решение Траектория движения снаряда – парабола. Скорость тела всегда направлена по касательной к траектории. В верхней точке траектории скорость снаряда параллельна оси x.

Запишем закон сохранения импульса:

    \[m\overline{v}=m_1{\overline{v}}_1+m_2{\overline{v}}_2\]

или

    \[m_2{\overline{v}}_2=m\overline{v}-m_1{\overline{v}}_1\ \]

Перейдем от векторов к скалярным величинам. Для этого возведем обе части векторного равенства в квадрат и воспользуемся формулами для скалярного произведения векторов:

    \[{m_2}^2{v_2}^2=m^2v^2-2mm_1vv_1\cos\varphi +{m_1}^2{v_1}^2\ \]

Учитывая, что \cos\varphi =\cos{60}^\circ=\frac{1}{2}, а также что m_2=m-m_1, находим скорость второго осколка:

    \[v_2=\frac{\sqrt{m^2v^2-mm_1vv_1+{m_1}^2{v_1}^2}}{{m-m}_1}\]

Подставив в полученную формулу численные значения физических величин, вычислим:

    \[v_2=\frac{\sqrt{{10}^2\cdot {200}^2-10\cdot 3\cdot 200\cdot 400+3^2\cdot {400}^2}}{10-3}=249\ m/c\]

Направление полета большей части снаряда определим, воспользовавшись теоремой синусов:

    \[\frac{\sin\alpha }{v_1}=\frac{\sin\varphi }{v_2}\ \]

откуда

    \[\sin\varphi =\frac{v_2}{v_1}\cdot \sin\alpha \ \]

Подставив в формулу численные значения, получим:

    \[\sin\varphi =\frac{249}{400}\cdot {\sin {60}^\circ=0,5391\ } \]

    \[\varphi =\text{arcsin}(0,5391)={33}^\circ\ \]

Ответ Большая часть снаряда полетит со скоростью 249 м/с вниз под углом {33}^\circ к горизонтальному направлению.
ПРИМЕР 3
Задание Масса поезда 3000 т. Коэффициент трения 0,02. Какова должна быть сила тяги паровоза, чтобы поезд набрал скорость 60 км/ч через 2 мин после начала движения.
Решение Так как на поезд действует сила трения (внешняя сила), систему нельзя считать замкнутой, и закон сохранения импульса в данном случае не выполняется.

Воспользуемся законом изменения импульса:

    \[\Delta \overline{p}=\left(\overline{F}+{\overline{F}}_{fr}\right)\Delta t\]

Так как сила трения всегда направлена в сторону, противоположную движению тела, в проекцию уравнения на ось координат (направление оси совпадает с направлением движения поезда) импульс силы трения войдет со знаком «минус»:

    \[\Delta p=\left(F-F_{fr}\right)\Delta t\]

или

    \[m\Delta v=\left(F-F_{fr}\right)\Delta t\]

На горизонтальном участке сила трения:

    \[F_{fr}=\mu mg\]

поэтому можно записать:

    \[m\Delta v=\left(F-\mu mg\right)\Delta t\]

откуда находим силу тяги паровоза:

    \[m\Delta v=F\Delta t-\mu mg\Delta t \]

    \[F\Delta t=m\left(\Delta v+\mu g\Delta t\right) \]

    \[F=\frac{m\left(\Delta v+\mu g\Delta t\right)}{\Delta t}\]

Переводим единицы в систему СИ: m=3000 т= 3\cdot {10}^6 кг.

\Delta v=60 км/ч =16,7 м/с

\Delta t=2 мин =120 с

Ускорение свободного падения 9,8 м/с ^{2} .

Вычислим:

    \[F=\frac{3\cdot {10}^6\left(16,7+0,02\cdot 9,8\cdot 120\right)}{120}={10}^6\ H\]

Ответ Сила тяги паровоза должна составлять 10^{6} Н.