Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Динамика движения системы связанных тел

В механике под связанными телами понимают тела, перемещение которых ограничено другими телами.

При решении задач, в которых рассматривается движение системы связанных между собой тел, необходимо записать уравнения движения (второй закон Ньютона) для каждого тела в отдельности. Также записывают уравнения, выражающие кинематические условия, которые связывают ускорения отдельных тел системы. В результате получают систему уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных величин.

Если тела связаны нитью, массой которой можно пренебречь, силу натяжения нити считают одинаковой по всей ее длине. Если нить перекинута через блок, то равенство сил натяжения со стороны соседних частей нити выполняется только в том случае, когда можно пренебречь массами нити и блока, а также силами трения, которые возникают при вращении блока.

Рассмотрим подробнее основные модели движения систем связанных тел.

Движение по горизонтальной плоскости

ПРИМЕР 1
Задание Два бруска массами m_{1}=1 кг и m_{2}=4 кг, соединенные шнуром, лежат на столе. С каким ускорением будут двигаться бруски, если к одному из них приложить силу F=10 Н, направленную горизонтально? Коэффициент трения 0,2.
Решение Выполним рисунок и укажем все силы, действующие на тела.

Первый брусок (массой m_1):

на тело действуют сила тяжести m_1\overline{g}, сила реакции опоры {\overline{N}}_1, сила трения {\overline{F}}_{fr,1} и сила натяжения шнура \overline{T}.

По второму закону Ньютона:

    \[m_1\overline{g}+{\overline{N}}_1+{\overline{F}}_{fr,1}+\overline{T}=m_1\overline{a}\]

В проекциях на координатные оси это уравнение будет иметь вид:

    \[\begin{cases} T-F_{fr,1}=m_1a \\  N_1-m_1g=0 \end{cases}\]

Второй брусок (массой m_2):

на тело действуют сила тяжести m_2\overline{g}, сила реакции опоры {\overline{N}}_2, сила трения {\overline{F}}_{fr,2}, сила натяжения шнура \overline{T} и сила \overline{F}.

По второму закону Ньютона:

    \[m_2\overline{g}+{\overline{N}}_2+{\overline{F}}_{fr,2}+\overline{T}+\overline{F}=m_2\overline{a}\]

В проекциях на координатные оси уравнение запишется в виде:

    \[ \begin{cases} F-T-F_{fr,2}=m_2a \\  N_2-m_2g=0 \end{cases}\]

Учитывая, что F_{fr,1}=\mu N_1 и F_{fr,2}=\mu N_2 и, определив из вторых уравнений каждой системы силы реакции опоры:

    \[N_1=m_1g \ \ N_2=m_2g\]

силы трения, действующие на каждый из брусков:

    \[F_{fr,1}=\mu m_1g \ \ \ F_{fr,2}=\mu m_2g.\ \ \ \]

Подставив выражения для сил трения в первые уравнения каждой системы, получим систему уравнений:

    \[\begin{cases} T-\mu m_1g=m_1a \\  F-T-\mu m_2g=m_2a \end{cases} \]

После сложения уравнений имеем:

    \[F-\mu m_1g-\mu m_2g=m_1a+m_2a \]

    \[a\left(m_1+m_2\right)=F-\mu \left(m_1+m_2\right) \]

откуда ускорение, с которым двигаются бруски:

    \[a=\frac{F-\mu \left(m_1+m_2\right)}{m_1+m_2}\]

Подставив в формулу численные значения физических величин, вычислим:

    \[a=\frac{10-0,2\cdot \left(1+4\right)}{1+4}=1,8\ {m}/{c^2}\ \]

Ответ Ускорение, с которым будут двигаться бруски, 1,8 м/с ^{2}.

Движение в вертикальной плоскости

ПРИМЕР 2
Задание Два груза массами m_{1}=1 кг и m_{2}=1,5 кг связаны нерастяжимой и невесомой нитью. Нить перекинута через невесомый блок. Определить ускорения, с которыми будут двигаться грузы, и натяжение нити во время движения.
Решение Выполним рисунок и укажем все силы, действующие на тела.

Первое тело (массой m_1):

на тело действуют сила тяжести m_1\overline{g} и сила натяжения нити \overline{T}.

По второму закону Ньютона:

    \[m_1\overline{g}+\overline{T}=m_1{\overline{a}}_1\]

В проекции на координатную ось это уравнение запишется в виде:

    \[{T-m}_1g=m_1a_1\ \]

Второе тело (массой m_2):

на тело действуют сила тяжести m_2\overline{g} и сила натяжения нити \overline{T}.

По второму закону Ньютона:

    \[m_2\overline{g}+\overline{T}=m_2{\overline{a}}_2\]

В проекции на ось y уравнение имеет вид:

    \[{T-m}_2g={-m}_2a_2\ \]

Таким образом, получена система из двух уравнений:

    \[\begin{cases} {T-m}_1g=m_1a_1\ \\  {T-m}_2g={-m}_2a_2 \end{cases} \]

Так как тела связаны, то выполняется условие:

    \[\left|{\overline{a}}_1\right|=\left|{\overline{a}}_2\right|=a\]

и система перепишется в виде:

    \[\begin{cases} {T-m}_1g=m_1a\ \\  {T-m}_2g={-m}_2a \end{cases} \]

Умножим второе уравнение на (-1) и сложим с первым, получим:

    \[\left(m_2-m_1\right)g=\left(m_2+m_1\right)a\]

откуда ускорение:

    \[a=\frac{\left(m_2-m_1\right)g}{m_2+m_1}\]

Силу натяжения нити найдем из первого уравнения системы, подставив в него выражение для ускорения:

    \[T=m_1\left(a+g\right)=m_1g\left(\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}+1\right)=m_1g\left(\frac{m_2-m_1+m_2+m_1}{m_2+m_1}\right)=\frac{2m_2m_1g}{m_2+m_1}\]

Ускорение свободного падения g=9,8 м/с ^{2} .

Подставив в формулы численные значения физических величин, вычислим:

    \[a=\frac{\left(1,5-1\right)\cdot 9,8}{1,5+1}=2{m}/{c^2 }\ \]

    \[T=\frac{2\cdot 1,5\cdot 1\cdot 9,8}{1,5+1}=12\ H\]

Ответ Ускорения, с которыми будут двигаться грузы, составит 2 м/с2, натяжение нити во время движения 12 Н.

Движение по наклонной плоскости

ПРИМЕР 3
Задание Невесомый блок укреплен на вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы {30}^\circ и {45}^\circ. Грузы A и B массой 1 кг каждый соединены нитью, перекинутой через блок. Найти ускорение, с которым движутся грузы, и силу натяжения нити. Считать невесомой и нерастяжимой. Трением пренебречь.
Решение Из предположения, что массы нити и блока равны нулю, а нить нерастяжима, следует, что силы натяжения нити на каждом ее участке одинаковы и ускорения обоих грузов равны по модулю:

    \[\left|{\overline{T}}_1\right|=\left|{\overline{T}}_2\right|=T \ \ \ \ \left|{\overline{a}}_1\right|=\left|{\overline{a}}_2\right|=a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(*\right)\ \]

Выполним рисунок и рассмотрим движение каждого груза отдельно.

Груз A: на груз действуют сила тяжести m_1\overline{g}, сила реакции опоры {\overline{N}}_1, и сила натяжения нити {\overline{T}}_1.

Уравнение второго закона ньютона в векторной форме:

    \[m_1\overline{g}+{\overline{N}}_1+{\overline{T}}_1=m_1{\overline{a}}_1\]

В проекции на выбранные направления осей

    \[ \begin{cases} m_1g\sin\beta -T_1=m_1a_1 \\  -m_1g\cos\beta +N_1=0\  \end{cases} \]

Груз B: на груз действуют сила тяжести m_2\overline{g}, сила реакции опоры {\overline{N}}_2, и сила натяжения нити {\overline{T}}_2.

Уравнение второго закона ньютона в векторной форме:

    \[m_2\overline{g}+{\overline{N}}_2+{\overline{T}}_2=m_2{\overline{a}}_2\]

В проекции на выбранные направления осей

    \[ \begin{cases} {-m}_2g\sin\alpha +T_2=m_2a_2 \\  -m_2g\cos\alpha +N_2=0 \end{cases} \]

Так как силой трения в задаче пренебрегаем, вторые уравнения в системах для каждого груза в задаче не используются. Складывая почленно первые уравнения систем, получим:

    \[m_1g\sin\beta -T_1{-m}_2g\sin\alpha +T_2=m_1a_1+m_2a_2\]

или, учитывая условие (*):

    \[m_1g\sin\beta {-m}_2g\sin\alpha =a\left(m_1+m_2\right)\]

откуда ускорение:

    \[a=\frac{\left(m_1\sin\beta {-m}_2\sin\alpha \right)g}{m_1+m_2}\ \]

Силу натяжения нити найдем из первого уравнения системы для груза A с учетом условия (*):

    \[T=m_1\left(g\sin\beta -a\right)\]

Ускорение свободного падения g=9,8 м/с ^{2} .

Вычислим:

    \[a=\frac{1\cdot \sin{45}^\circ-1\cdot \sin{30}^\circ}{1+1}=0,98\ {m}/{c^2 }\]

    \[T=1\cdot \left(9,8\cdot \sin{45}^\circ-0,98\right)=5,9\ H\]

Ответ Ускорение грузов 0,98 м/с ^{2} сила натяжения нити 5,9 Н.