Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Динамика движения по окружности

Решение задач на динамику движения тела по окружности принципиально ничем не отличается от решения задач на динамику поступательного движения.

Если тело (материальная точка) движется по окружности, то оно всегда движется с ускорением, так как нормальное или центростремительное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. По второму закону Ньютона, если тело движется с ускорением, то можно утверждать, что на тело действуют силы, векторная сумма которых не равна нулю. Так как центростремительное ускорение всегда направлено к центру, часто считают, что причиной ускорения в этом случае является некая центростремительная или центробежная сила. Однако, это неверно. Такой силы в природе нет. При движении тела по окружности ускорение возникает в результате того, что силы, действующие на тело, неуравновешенны.

Рассмотрим различные модели.

Движение по окружности в горизонтальной плоскости

ПРИМЕР 1
Задание Груз, подвешенный к невесомой нити, описывает горизонтальную окружность с постоянной скоростью (конический маятник). Расстояние от точки подвеса до центра окружности h=1 м. Найти число оборотов маятника за 1 с.
Решение Выполним рисунок и укажем все силы, действующие на тело.

На груз действуют сила тяжести m\overline{g} и сила натяжения нити \overline{T}.

По второму закону Ньютона:

    \[m\overline{g}+\overline{T}=m\overline{a}\]

Направим координатные оси, как показано на рисунке, и запишем это векторное равенство в проекциях на оси выбранной системы координат:

    \[\left\{ \begin{array}{c} T\sin\varphi =ma \\  T\cos\varphi -mg=0\  \end{array} \right\]

Центростремительное ускорение:

    \[a=\frac{v^2}{R}\]

где R-радиус окружности, описываемой грузом.

Учитывая, что линейная и угловая скорости груза связаны соотношением v=\omega R, а также то, что R=h \text{tg} \varphi, получим:

    \[\left\{ \begin{array}{c} T\sin\varphi =m{\omega }^2h\text{tg}\varphi  \\  T\cos\varphi =mg\  \end{array} \right\]

Разделим первое уравнение на второе:

    \[\text{tg}\varphi =\frac{{\omega }^2h}{g}\cdot \text{tg}\varphi \]

откуда угловая скорость вращения груза:

    \[\omega =\sqrt{\frac{g}{h}}\ \]

Количество оборотов груза за 1 с или частота конического маятника:

    \[n=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{h}}\ \]

Ускорение свободного падения g=9,8 м/с ^{2} .

Вычислим:

    \[n=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{9,8}{1}}=0,5\]

Ответ За 1 с маятник делает пол-оборота.
ПРИМЕР 2
Задание Автомобиль движется по окружности радиусом r со скоростью v, при превышении которой его «занесет». Найти минимальный коэффициент трения скольжения, при котором «заноса» не будет.
Решение На автомобиль действуют сила тяжести m\overline{g}, сила реакции опоры \overline{N} и сила трения {\overline{F}}_{fr}. При движении автомобиля сила трения направлена к центру окружности.

Запишем второй закон Ньютона:

    \[m\overline{g}+\overline{N}+{\overline{F}}_{fr}=m\overline{a}\ \]

и спроектируем уравнение на оси координат:

    \[\left\{ \begin{array}{c} F_{fr}=ma \\  N-mg=0 \end{array} \right\]

Из второго уравнения:

    \[N=mg\]

Сила трения:

    \[F_{fr}=\mu N=\mu mg\]

Учитывая, что центростремительное ускорение:

    \[a=\frac{v^2}{r}\]

получим:

    \[\mu g=\frac{v^2}{r}\]

откуда минимальный коэффициент трения скольжения, при котором автомобиль не «занесет»:

    \[\mu =\frac{v^2}{gr}\]

Ответ Минимальный коэффициент трения скольжения, при котором «заноса» не будет, определяется соотношением \mu =\frac{v^2}{gr}.

Движение по окружности в вертикальной плоскости

ПРИМЕР 3
Задание Реактивный самолет описывает петлю Нестерова. Скорость самолета в нижней точки петли 360 км/ч. Радиус петли 200 м. Найти во сколько раз «тяжелее» становится летчик, т.е. какова перегрузка в нижней точке петли?
Решение На летчика действуют сила тяжести m\overline{g} и сила реакции опоры (кресла) \overline{N}. Ускорение летчика направлено к центру окружности (петли), которую описывает самолет, однако, в нижней и в верхней точках петли направления ускорения противоположны.

Запишем второй закон Ньютона:

    \[m\overline{g}+\overline{N}=m\overline{a}\ \]

Направим ось y, как показано на рисунке, и запишем отдельно проекции этого уравнения на ось для положения летчика в верхней и нижней точках петли.

В верхней точке петли:

    \[N-mg=-ma\]

откуда

    \[N=m\left(g-a\right)\]

В нижней точке петли:

    \[N-mg=ma\]

откуда

    \[N=m\left(g+a\right)\]

По третьему закону Ньютона, вес летчика равен по модулю силе реакции кресла, поэтому в нижней части петли перегрузка составит:

    \[\frac{m\left(g+a\right)}{mg}=1+\frac{a}{g}\]

Учитывая, что центростремительное ускорение:

    \[a=\frac{v^2}{R}\]

окончательно получим:

    \[1+\frac{v^2}{gR}\]

Ускорение свободного падения g=9,8 м/с ^{2} .

Скорость самолета в системе СИ: v=360 км/ч =100 м/с.

Вычислим значение перегрузки:

    \[1+\frac{{100}^2}{9,8\cdot 200}=6\]

Ответ В нижней точке петли Нестерова летчик становится тяжелее в 6 раз.

Равновесие тела на движущейся поверхности

ПРИМЕР 4
Задание На нижнем краю поверхности конуса с углом наклона \alpha лежит тело с массой m. Конус равномерно вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью \omega. Расстояние от оси вращения до тела равно R. Найти наименьший коэффициент трения, при котором тело еще удерживается на поверхности конуса.
Решение Выполним рисунок и укажем все силы, действующие на тело.

На тело действуют сила тяжести m\overline{g}, сила реакции опоры \overline{N} и сила трения {\overline{F}}_{fr}.

По второму закону Ньютона:

    \[m\overline{g}+\overline{N}+{\overline{F}}_{fr}=m\overline{a}\ \]

Выберем направление координатных осей, как показано на рисунке и спроектируем это уравнение на оси выбранной системы координат:

    \[\left\{ \begin{array}{c} F_{fr\ }\cos\alpha -N\sin\alpha =ma \\  F_{fr\ }\sin\alpha +N\cos\alpha -mg=0\  \end{array} \right\]

Центростремительное ускорение:

    \[a=\frac{v^2}{R}\]

Так как угловая и линейная скорости связаны соотношением:

    \[v=\omega R\]

    \[a={\omega }^2R\]

Учитывая также, что F_{fr\ }=\mu N, получим:

    \[\left\{ \begin{array}{c} \mu N\cos\alpha -N\sin\alpha =m{\omega }^2R \\  \mu N\sin\alpha +N\cos\alpha -mg=0\  \end{array} \right\]

Из второго уравнения выразим N:

    \[N\left(\mu \sin\alpha +\cos\alpha \right)=mg\]

    \[N=\frac{mg}{\mu \sin\alpha +\cos\alpha }\]

Подставив это соотношение в первое уравнение, получим:

    \[\frac{mg\left(\mu \cos\alpha -\sin\alpha \right)}{\mu \sin\alpha +\cos\alpha }=m{\omega }^2R\]

    \[\frac{\mu \cos\alpha -\sin\alpha }{\mu \sin\alpha +\cos\alpha }=\frac{{\omega }^2R}{g}\]

Воспользовавшись свойством пропорции, запишем:

    \[g\left(\mu \cos\alpha -\sin\alpha \right)={\omega }^2R\left(\mu \sin\alpha +\cos\alpha \right)\]

Раскроем скобки:

    \[\mu g\cos\alpha -g\sin\alpha ={\omega }^2R\mu \sin\alpha +{\omega }^2R\cos\alpha \]

Выразим коэффициент трения:

    \[\mu \left(g\cos\alpha -{\omega }^2R\sin\alpha \right)={\omega }^2R\cos\alpha +g\sin\alpha \]

    \[\mu =\frac{{\omega }^2R\cos\alpha +g\sin\alpha }{g\cos\alpha -{\omega }^2R\sin\alpha }\]

при этом должно выполняться условие:

    \[g\cos\alpha -{\omega }^2R\sin\alpha >0\]

или

    \[\text{tg}\alpha <\frac{g}{{\omega }^2R}\]

Ответ Наименьший коэффициент трения, при котором тело еще удерживается на поверхности конуса, определяется условиями:

    \[\mu =\frac{{\omega }^2R\cos\alpha +g\sin\alpha }{g\cos\alpha -{\omega }^2R\sin\alpha },\ \text{tg}\alpha < \frac{g}{{\omega }^2R}\ \]