Умножение логарифмов

Определение и формулы для умножения логарифмов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

В общем случае произведение логарифмов не задается единой формулой и может быть выполнено лишь в отдельных случаях на основании свойств логарифмов.

1 случай. $\log _{a} b\cdot \log _{b} a=1,\; a,\, b>0,\; a,\, b\ne 1$ .

Доказательство. Используя частный случай формулы перехода к новому основанию (свойство 11), будем иметь:

$\log _{a} b\cdot \log _{b} a=\log _{a} b\cdot \frac{1}{\log _{a} b} =1$

Что и требовалось доказать.

Например. $\log _{2} 5\cdot \log _{5} 2=\log _{2} 5\cdot \frac{1}{\log _{2} 5} =1$ .

2 случай. При умножении нескольких логарифмов с разными основаниями выражение также можно в некоторых случаях упростить, перейдя к логарифмам с одним основанием по формуле перехода

$\log _{a} b=\frac{\log _{c} b}{\log _{c} a} ,\; a,\, b,\, c>0;\; a,\, c\ne 1$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найти значение выражения $\log _{3} 5\cdot \log _{5} 7\cdot \log _{7} 8\cdot \log _{8} 9$ .

Решение

Приведем все логарифмы к одному основанию, например, 3:

$\log _{3} 5\cdot \log _{5} 7\cdot \log _{7} 8\cdot \log _{8} 9=\log _{3} 5\cdot \frac{\log _{3} 7}{\log _{3} 5} \cdot \frac{\log _{3} 8}{\log _{3} 7} \cdot \frac{\log _{3} 9}{\log _{3} 8}$

После сокращения будем иметь:

$\log _{3} 5\cdot \log _{5} 7\cdot \log _{7} 8\cdot \log _{8} 9=\log _{3} 9=2$

Ответ

$\log _{3} 5\cdot \log _{5} 7\cdot \log _{7} 8\cdot \log _{8} 9 = 2$

3 случай. Произведение логарифмов с одинаковыми основаниями также можно иногда преобразовать, основываясь на свойствах логарифма.

ПРИМЕР 2

Задание

Вычислить $\log _{21}^{2} 3+\log _{21} 7\cdot \log _{21} 63$

Решение

Преобразуем заданное выражение:

$\log _{21}^{2} 3+\log _{21} 7\cdot \log _{21} 63=\log _{21}^{2} 3+\log _{21} 7\cdot \log _{21} \left(7\cdot 9\right)=$

$=\log _{21}^{2} 3+\log _{21} 7\cdot \left(\log _{21} 7+\log _{21} 9\right)=\log _{21}^{2} 3+\log _{21} 7\cdot \left(\log _{21} 7+\log _{21} 3^{2} \right)=$

$=\log _{21}^{2} 3+\log _{21} 7\cdot \left(\log _{21} 7+2\log _{21} 3\right)=\log _{21}^{2} 3+\log _{21}^{2} 7+2\log _{21} 3\cdot \log _{21} 7=$

$=\log _{21}^{2} 3+2\log _{21} 3\cdot \log _{21} 7+\log _{21}^{2} 7=\left(\log _{21} 3+\log _{21} 7\right)^{2} =$

$=\left(\log _{21} \left(3\cdot 7\right)\right)^{2} =\left(\log _{21} 21\right)^{2} =1^{2} =1$

Ответ

$\log _{21}^{2} 3+\log _{21} 7\cdot \log _{21} 63 = 1$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Умножение логарифмов

Определение и формулы для умножения логарифмов

Примеры решения задач