Таблица логарифмов

Определения и таблица логарифмов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ называется такое число $c$ , при котором имеет место равенство $b=a^{c}$ :

$\log _{a} b=c\Leftrightarrow b=a^{c}$ , причем $a>0,\; a\ne 1,\; b>0$ .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Натуральный логарифм $\ln b$ — логарифм по основанию $e$ :

$\ln b=\log _{e} b$

Десятичный логарифм $\lg b$ — логарифм по основанию 10:

$\lg b=\log _{10} b$

Иногда при расчетах необходимо знать значения логарифмов некоторых величин, но их нельзя вычислить точно. Было составлено ряд таблиц для упрощения вычислений.

Таблица натуральных логарифмов

Единицы Десятки	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	–	0	0,6931	1,0986	1,3863	1,6094	1,7918	1,9459	2,0794	2,1972
1	2,3026	2,3979	2,4849	2,5649	2,6391	2,7081	2,7726	2,8332	2,8904	2,9444
2	2,9957	3,0445	3,091	3,1355	3,1781	3,2189	3,2581	3,2958	3,3322	3,3673
3	3,4012	3,434	3,4657	3,4965	3,5264	3,5553	3,5835	3,6109	3,6376	3,6636
4	3,6889	3,7136	3,7377	3,7612	3,7842	3,8067	3,8286	3,8501	3,8712	3,8918
5	3,912	3,9318	3,9512	3,9703	3,989	4,0073	4,0254	4,0431	4,0604	4,0775
6	4,0943	4,1109	4,1271	4,1431	4,1589	4,1744	4,1897	4,2047	4,2195	4,2341
7	4,2485	4,2627	4,2767	4,2905	4,3041	4,3175	4,3307	4,3438	4,3567	4,3694
8	4,382	4,3944	4,4067	4,4188	4,4308	4,4427	4,4543	4,4659	4,4773	4,4886
9	4,4998	4,5109	4,5218	4,5326	4,5433	4,5539	4,5643	4,5747	4,5850	4,5951
10	4,6052	4,6151	4,625	4,6347	4,6444	4,654	4,6634	4,6728	4,6821	4,6913

ПРИМЕР 1

Задание	С помощью таблицы натуральных логарифмов вычислить $\ln 48$
Решение	В столбце «Десятки» находим 4, а в строке «Единицы» — 8. На пересечении указанных строки и столбца находится значение 3,8712; то есть $\ln 48={\rm 3,8712}$
Ответ	$\ln 48={\rm 3,8712}$

Таблица и формула перехода от натуральных логарифмов к десятичным

Если известен натуральный логарифм $\ln a$ некоторого числа $a$ , то десятичный логарифм $\lg a$ этого числа, согласно свойствам логарифма, будет равен

$\lg a=\frac{\ln a}{\ln 10} =\lg e\cdot \ln a=M\ln a,$

где $M=\lg e\approx 0,4342945...$ .

Итак, десятичный логарифм числа $a$ равен произведению натурального логарифма этого же числа и числа $M=\lg e\approx 0,4342945...$ .

Десятки Единицы	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0,0000	4,3430	8,6859	13,0288	17,3718	21,7147	26,0577	30,4006	34,7436	39,0865
1	0,4343	4,7772	9,1202	13,4631	17,8061	22,1490	26,4920	30,8349	35,1779	39,5208
2	0,8686	5,2115	9,5545	13,8974	18,2404	22,5833	26,9263	31,2692	35,6122	39,9551
3	1,3029	5,6458	9,9888	14,3317	18,6747	23,0176	27,3606	31,7035	36,0464	40,3894
4	1,7372	6,0801	10,4231	14,7660	19,1090	23,4519	27,7948	32,1378	36,4807	40,8237
5	2,1715	6,5144	10,8574	15,2003	19,5433	23,8862	28,2291	32,5721	36,9150	41,2580
6	2,6058	6,9487	11,2917	15,6346	19,9775	24,3205	28,6634	33,0064	37,3493	41,6923
7	3,0401	7,3830	11,7260	16,0689	20,4118	24,7548	29,0977	33,4407	37,7836	42,1266
8	3,4744	7,8173	12,1602	16,5032	20,8461	25,1891	29,5320	33,8750	38,2179	42,5609
9	3,9086	8.2516	12,5945	16,9375	21,2804	25,6234	29,9663	34,3093	38,6522	42,9952

ПРИМЕР 2

Задание	Известно, что $\ln e^{52} =52$ . Чему равен $\lg e^{52}$ ?
Решение	Поскольку известное значение 52, то в строке «Десятки» находим 5, а в столбце «Единицы» — 2. На пересечении получаем значение 22,5833. Таким образом, $\lg e^{52} ={\rm 22,5833}$
Ответ	$\lg e^{52} ={\rm 22,5833}$

Таблица и формула для перехода от десятичных логарифмов к натуральным.

Пусть известно значение десятичного логарифма $\lg a$ некоторого положительного числа $a$ , тогда натуральный логарифм $\ln a$ этого числа можно вычислить по формуле

$\ln a=\frac{\lg a}{\lg e} =\frac{\lg a}{M} =\frac{1}{M} \cdot \lg a=\frac{1}{\lg e} \cdot \lg a=\ln 10\cdot \lg a,$

то есть натуральный логарифм числа равен произведению десятичного логарифма этого числа и числа, обратного к числу $M=\lg e\approx 0,4342945...$ :

$\frac{1}{M} =\frac{1}{\lg e} =\ln 10\approx 2,3025851...$

Десятки Единицы	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0,0000	23,026	46,052	69,078	92,103	115,129	138,155	161,181	184,207	207,233
1	2,3026	25,328	48,354	71,380	94,406	117,431	140,458	163,484	186,509	209,535
2	4,6052	27,631	50,657	73,683	96,709	119,734	142,760	165,786	188,812	211,838
3	6,9078	29,934	52,959	75,985	99,011	122,037	145,062	166,089	191,115	214,140
4	9,2103	32,236	55,262	78,288	101,314	124,340	147,365	170,391	193,417	216,443
5	11,513	34,539	57,565	80,590	103,616	126,642	149,668	172,694	195,720	218,746
6	13,816	36,841	59,867	82,893	105,919	128,945	151,971	174,997	198,022	221,048
7	16,118	39,144	62,170	85,196	108,221	131,247	154,273	177,299	200,325	223,351
8	18,421	41,447	64,472	87,498	110,524	133,550	156,576	179,602	202,627	225,653
9	20,723	43,749	66,775	89,801	112,827	135,853	158,878	181,904	204,930	227,956

ПРИМЕР 3

Задание	Известно, что $\lg 10^{23} =23$ . Найти значение $\ln 10^{23}$
Решение	Для нахождения нужного значения в строке «Десятки» находим цифру 2, а в столбце «Единицы» — 3, на пересечении получаем значение 52,959; а тогда $\ln 10^{23} =52,959$
Ответ	$\ln 10^{23} =52,959$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Таблица логарифмов

Определения и таблица логарифмов

Таблица натуральных логарифмов

Таблица и формула перехода от натуральных логарифмов к десятичным

Таблица и формула для перехода от десятичных логарифмов к натуральным.