Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Основное логарифмическое тождество

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Основным логарифмическим тождеством называется равенство

    \[ a^{\log _{a} b} =b,\]

причем a,\; b>0,\; a\ne 1.

Например. 13^{\log _{13} 2} =2;\; 10^{\lg 7} =7;\; e^{\ln \pi } =\pi.

Многие выражения, содержащие логарифмы, упрощаются с помощью этого тождества и других свойств логарифмов.

Примеры решения задач

ПРИМЕР
Задание Вычислить значение выражения 27^{1-\log _{3} 2}
Решение Применим свойство степеней

    \[a^{x-y} =\frac{a^{x} }{a^{y} } \]

В результате будем иметь:

    \[27^{1-\log _{3} 2} =\frac{27^{1} }{27^{\log _{3} 2} } =\frac{27}{27^{\log _{3} 2} } \]

К знаменателю полученной дроби нельзя применить основное логарифмическое тождество, поскольку основание степени 27 не равно основанию логарифма 3. Преобразуем указанные величины к одному значению, поскольку 27=3^{3}, то будем иметь:

    \[27^{1-\log _{3} 2} =\frac{27}{27^{\log _{3} 2} } =\frac{27}{\left(3^{3} \right)^{\log _{3} 2} } \]

Согласно свойству

    \[\left(a^{x} \right)^{y} =a^{xy} \]

можно записать, что

    \[27^{1-\log _{3} 2} =\frac{27}{\left(3^{3} \right)^{\log _{3} 2} } =\frac{27}{3^{3\log _{3} 2} } \]

Применив свойство логарифмов n\log _{a} b=\log _{a} b^{n}, получаем

    \[27^{1-\log _{3} 2} =\frac{27}{3^{3\log _{3} 2} } =\frac{27}{3^{\log _{3} 2^{3} } } =\frac{27}{3^{\log _{3} 8} } \]

Тогда, преобразовав знаменатель с помощью основного логарифмического тождества, окончательно будем иметь

    \[27^{1-\log _{3} 2} =\frac{27}{3^{\log _{3} 8} } =\frac{27}{8} \]

Ответ \frac{27}{8}
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.