Натуральный логарифм и его свойства
Определение и формулы натурального логарифма
Натуральный логарифм может быть определён для любого положительного действительного числа как площадь под гиперболой для .
Впервые натуральный логарифм встречается в работе «Logarithmotechnika» (1668) немецкого математика Николауса Меркатора (Николас (Николаус) Кауфман, около 1620-1687). Но еще в 1619 г. лондонский учитель математики Джон Спайделл, переиздавший таблицы логарифмов Непера (шотландский математик Джон Непер (1560-1617) и его сочинение «Описание удивительной таблицы логарифмов» 1614 года), составил таблицу натуральных логарифмов.
Первоначально натуральный логарифм называли гиперболическим, поскольку он соответствует площади под гиперболой; иногда называют логарифмом Непера. Термин «натуральный логарифм» («логарифмус натуралис») был предложен итальянским математиком Пьетро Менголи (1626-1686) в середине 16 века.
Свойства натурального логарифма
Натуральный логарифм обладает всеми свойствами, присущими логарифму по произвольному основанию:
1. Основное логарифмическое тождество:
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. Переход к новому основанию:
8. .
9. .
Задание | Определить , если |
Решение | Преобразуем искомый логарифм согласно свойствам натурального логарифма:
|
Ответ |
Функция натурального логарифма
Функцией натурального логарифма есть функция , обладающая следующими свойствами:
1) Область определения: .
2) Множество значений: .
3) Функция общего вида.
4) Функция непериодическая.
5) График функции пересекается с осью абсцисс в точке .
6) Промежутки знакопостоянства: для и для .
7) Функция возрастает на всей области определения.
8) Точек минимума/максимума нет.
9) Вертикальная асимптота — прямая (ось ординат).
10) График:
Функция является обратной к экспоненциальной функции .
Производная логарифма натурального
Интеграл от натурального логарифма
Ряд Маклорена