Натуральный логарифм и его свойства

Определение и формулы натурального логарифма

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Натуральным логарифмом $\ln b$ называется логарифм по основанию $e$ :

$\ln b=\log _{e} b$

Натуральный логарифм может быть определён для любого положительного действительного числа $a$ как площадь под гиперболой $y=\frac{1}{x}$ для $1\le x\le a$ .

Впервые натуральный логарифм встречается в работе «Logarithmotechnika» (1668) немецкого математика Николауса Меркатора (Николас (Николаус) Кауфман, около 1620-1687). Но еще в 1619 г. лондонский учитель математики Джон Спайделл, переиздавший таблицы логарифмов Непера (шотландский математик Джон Непер (1560-1617) и его сочинение «Описание удивительной таблицы логарифмов» 1614 года), составил таблицу натуральных логарифмов.

Первоначально натуральный логарифм называли гиперболическим, поскольку он соответствует площади под гиперболой; иногда называют логарифмом Непера. Термин «натуральный логарифм» («логарифмус натуралис») был предложен итальянским математиком Пьетро Менголи (1626-1686) в середине 16 века.

Свойства натурального логарифма

Натуральный логарифм обладает всеми свойствами, присущими логарифму по произвольному основанию:

1. Основное логарифмическое тождество:

$e^{\ln b} =b$

2. $\ln e=1$ .

3. $\ln 1=0$ .

4. $\ln \left(b\cdot c\right)=\ln b+\ln c$ .

5. $\ln \frac{b}{c} =\ln b-\ln c$ .

6. $\ln b^{n} =n\ln b$ .

7. Переход к новому основанию:

$\ln b=\frac{\log _{c} b}{\log _{c} e}$

8. $\ln b=\frac{1}{\log _{b} e}$ .

9. $\ln b\cdot \log _{b} e=1$ .

ПРИМЕР 1

Задание	Определить $\ln 20$ , если $\ln 2=a,\; \ln 5=b$
Решение	Преобразуем искомый логарифм согласно свойствам натурального логарифма: $\ln 20=\ln \left(4\cdot 5\right)=\ln 4+\ln 5=\ln 2^{2} +\ln 5=2\ln 2+b=2a+b$
Ответ	$2a+b$