Логарифмические уравнения

Определение и формулы логарифмических уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Логарифмическим уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком логарифма.

Типы логарифмических уравнений

Тип 1. Простейшим логарифмическим уравнением называется уравнение вида

$\log _{a} x=b,$

решение которого (при условии, что $x>0$ )

$x=a^{b}$

ПРИМЕР 1

Задание

Решить уравнение $\log _{5} x=-1$

Решение

ОДЗ: $x>0\Rightarrow x\in \left(0;\; +\infty \right)$ .

Согласно определению логарифма, решением данного уравнение есть значение

$x=5^{-1} =\frac{1}{5}$

Ответ

$x=\frac{1}{5}$

Тип 2. Уравнения вида $\log _{a} f\left(x\right)=b$ .

Такие уравнения эквивалентны системе

$\left\{\begin{array}{l} {f\left(x\right)>0,} \\ {f\left(x\right)=a^{b} .} \end{array}\right.$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти решение уравнения $\log _{3} \left(x^{2} -3\right)=0$

Решение

Рассматриваемое уравнение равносильно следующей системе:

$\left\{\begin{array}{l} {x^{2} -3>0,} \\ {x^{2} -3=3^{0} } \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {x^{2} -3>0,} \\ {x^{2} -3=1.} \end{array}\right. \qquad (1)$

Вначале найдем решение неравенства $x^{2} -3>0$ с помощью метода интервалов:

$x^{2} -3>0\Rightarrow \left(x-\sqrt{3} \right)\left(x+\sqrt{3} \right)>0$

Наносим нули левой части последнего неравенства на координатную прямую и определяем знак на каждом из полученных промежутков. В результате имеем, что

$x\in \left(-\infty ;\; -\sqrt{3} \right)\bigcup \left(\sqrt{3} ;\; +\infty \right)$

Перейдем к решению уравнения $x^{2} -3=1$ :

$x^{2} -4=0\Rightarrow \left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\Rightarrow x_{1,\; 2} =\pm 2$

Таким образом, система (1) принимает вид:

$\left\{\begin{array}{l} {x\in \left(-\infty ;\; -\sqrt{3} \right)\bigcup \left(\sqrt{3} ;\; +\infty \right),} \\ {\left[\begin{array}{l} {x=2,} \\ {x=-2} \end{array}\right. } \end{array}\right. \Rightarrow x=\pm \, 2$

Ответ

$x=\pm \, 2$

Тип 3. Уравнения $\log _{a} f\left(x\right)=\log _{a} g\left(x\right)$ .

Уравнения такого типа равносильны одной из систем:

$\left\{\begin{array}{l} {f\left(x\right)>0,} \\ {f\left(x\right)=g\left(x\right)} \end{array}\right.$ или $\left\{\begin{array}{l} {g\left(x\right)>0,} \\ {f\left(x\right)=g\left(x\right).} \end{array}\right.$

Из указанных двух систем выбирается та, которая содержит более простое неравенство.

ПРИМЕР 3

Задание	Решить уравнение $\log _{2} \left(8-x\right)=\log _{2} \left(x+12\right)$
Решение	Перейдем к решению эквивалентной системы $\left\{\begin{array}{l} {8-x>0,} \\ {8-x=x+12} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {8>x,} \\ {-2x=4} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {x<8,} \\ {x=-2} \end{array}\right. \Rightarrow x=-2$
Ответ	$x=-2$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Логарифмические уравнения

Определение и формулы логарифмических уравнений

Типы логарифмических уравнений