Деление логарифмов

Определение и формулы для деления логарифмов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Деление логарифмов, как и произведение, в общем случае не задается единой формулой. Но его можно найти в частных случаях.

1 случай. Деление логарифмов с одинаковыми основаниями:

$\frac{\log _{c} b}{\log _{c} a} =\log _{a} b;\; a,\, b,\, c>0;\; a,\, c\ne 1$

Например. $\frac{\log _{2} 3}{\log _{2} 9} =\log _{9} 3=\frac{1}{2}$

2 случай. Если основания и подлогарифмические функции логарифмов есть степенями одного и того же числа соответственно, то после вынесения показателей степеней за знак логарифма в числителе и знаменателе получим одинаковые логарифмы, а соответственно дробь можно сократить, тем самым упростив её:

$\frac{\log _{a^{n} } b^{m} }{\log _{a^{k} } b^{l} } =\frac{\frac{m}{n} \log _{a} b}{\frac{l}{k} \log _{a} b} =\frac{\frac{m}{n} }{\frac{l}{k} } =\frac{mk}{nl}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Найти значение выражения $\frac{\log _{4} 81}{\log _{16} 243}$
Решение	Упростим заданное выражение по свойствам логарифмов, покажем, что результат будет равен, согласно выше приведенной формуле, $\frac{4\cdot 4}{2\cdot 5} =\frac{8}{5}$ : $\frac{\log _{4} 81}{\log _{16} 243} =\frac{\log _{2^{2} } 3^{4} }{\log _{2^{4} } 3^{5} } =\frac{\frac{4}{2} \log _{2} 3}{\frac{5}{4} \log _{2} 3} =2:\frac{5}{4} =2\cdot \frac{4}{5} =\frac{8}{5}$
Ответ	$\frac{\log _{4} 81}{\log _{16} 243} = \frac{8}{5}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Деление логарифмов

Определение и формулы для деления логарифмов

Примеры решения задач