Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Коэффициент затухания колебаний

В реальной действительности свободные колебания происходят в условиях действия сил сопротивления. Диссипативные силы ведут к уменьшению амплитуды колебаний. Колебания, амплитуда которых с течением времени становится меньше в результате потерь энергии, называются затухающими.

Затухающие механические колебания

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Физическую величину, которая характеризует скорость затухания колебаний, называют коэффициентом затухания. Коэффициент затухания могут обозначать по-разному: \beta ,\ \delta и т.д. При условии пропорциональности сил трения скорости движения тела:

    \[{\overline{F}}_{tr}=-r\overline{v}\left(1\right),\]

где r — является обобщенным коэффициентом трения, коэффициент затухания считают равным:

    \[\delta =\frac{r}{2m}\left(2\right),\]

где m — масса тела, совершающего колебания.

Дифференциальное уравнение колебаний при наличии затухания будет иметь вид:

    \[\ddot{x}+2\delta \dot{x}+{\omega }^2_0x=0\left(3\right),\]

{\omega }_0 — циклическая частота свободных колебаний системы при отсутствии трения.

Уравнение затухающих колебаний:

    \[x=Ae^{-\delta t}{\cos  \left(\omega t+{\varphi }_0\right)\ }\left(4\right),\]

где \omega =\sqrt{{\omega }^2_0-{\delta }^2} — частота затухающих колебаний, Ae^{-\delta t} — амплитуда затухающих колебаний. {\varphi }_0— постоянная величина, которая зависит от выбора начала отсчета времени.

Коэффициент затухания можно определить как величину обратную времени (\tau) за которое амплитуд (A) уменьшается в e раз:

    \[\delta =\frac{1}{\tau }\left(5\right),\]

где \tau — время релаксации. То есть можно записать:

    \[\frac{A_1}{A_2}=e^{\delta t}\]

Период затухающих колебаний равен:

    \[T=\frac{2\pi }{\sqrt{{\omega }^2_0-{\delta }^2}}\left(6\right),\]

при несущественном сопротивлении среды, если выполняется неравенство: {\delta }^2\ll {\omega }^2_0 период колебаний можно вычислять при помощи формулы:

    \[T'=\frac{2\pi }{{\omega }_0}\left(7\right)\]

При увеличении коэффициента затухания период колебаний растет. Надо заметить, что понятие период затухающих колебаний не совпадает с понятием незатухающих колебаний, так как система при наличии затухания никогда не возвращается в исходное состояние. Период затухающих колебаний — это минимальный промежуток времени в течение которого, система два раза проходит положение равновесия в одном направлении.

С увеличением коэффициента затухания колебаний частота колебаний уменьшается. Если {\omega }_0=\delta, то частота затухающих колебаний станет равна нулю, при этом период увеличивается до бесконечности. Такие колебания теряют периодичность и называются апериодическими. При равенстве коэффициента затухания собственной частоте колебаний параметры системы называют критическими.

Коэффициент затухания колебаний связан с логарифмическим декрементом затухания (\lambda) выражением:

    \[\lambda =\delta \cdot T\left(8\right)\]

Затухающие электрические колебания

Любой электрический контур, существующий в реальной действительности, имеет активное сопротивление, следовательно, энергия, запасённая в нем с течением времени расходуется на этом сопротивлении, так как происходит его нагревание.

При этом коэффициент затухания для электрического контура вычисляют как:

    \[\delta =\frac{R}{2L}\left(9\right),\]

где R — сопротивление, L- индуктивность контура.

Частота в электромагнитном контуре представлена формулой:

    \[\omega =\sqrt{\frac{1}{LC}-{\left(\frac{R}{2L}\right)}^2}\left(10\right)\]

Для RLC контура критическим сопротивлением (R_k) при котором колебания становятся апериодическими является сопротивление, равное:

    \[R_k=2\sqrt{\frac{L}{C}}(11)\]

R_k находят при {\omega }_0=\delta .

Единицы измерения коэффициента затухания колебаний

Основной единицей измерения коэффициента затухания в системе СИ является:

    \[\left[\delta \right]=\frac{1}{c}\]

В СГС:

    \[\left[\delta \right]=\frac{1}{c}\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Каков коэффициент затухания, если амплитуда колебаний маятника за время t=10 c. уменьшается в 4 раза?
Решение Запишем уравнение затухающих колебаний маятника:

    \[x=Ae^{-\delta t}{\cos  \left(\omega t+{\varphi }_0\right)\ }\left(1.1\right),\]

По одному из определений коэффициента затухания:

    \[\frac{A_1}{A_2}=e^{\delta t}\to {\ln  \left(\frac{A_1}{A_2}\right)\ }=\delta t\to \delta =\frac{1}{t}{ln \left(\frac{A_1}{A_2}\right)\ }\]

Проведем вычисления:

    \[\delta =\frac{1}{10}{ln \left(4\right)\ }=0,14\ \left(c^{-1}\right)\]

Ответ \delta =0,14\ c^{-1}
ПРИМЕР 2
Задание Колебательный контур состоит из катушки индуктивности L, конденсатора C и сопротивления R (рис.1). Через какое число полных колебаний (N) амплитуда тока в контуре уменьшится в e -раз?
Формула коэффициента затухания колебаний

Рис. 1

Решение Введем следующие обозначения: I_{m0}— начальное значение амплитуды силы тока, I_{mN} — амплитуда силы тока через N колебаний, тогда можно записать:

    \[\frac{I_{m0}}{I_{mN}}=e^{\delta t}\left(2.1\right)\]

Так как нам следует определить через сколько полных колебаний амплитуда силы тока уменьшится в e раз, то имеем:

    \[\frac{I_{m0}}{I_{mN}}=e\to \delta t=1\left(2.2\right)\]

Коэффициент затухания для электрического контура вычисляют как:

    \[\delta =\frac{R}{2L}\left(2.3\right)\]

Подставим выражение для \delta (2.3) в формулу (2.2), выразим время, имеем:

    \[t=\frac{1}{\delta }=\frac{2L}{R}\left(2.4\right)\]

Используем: t=NT, где:

    \[T=\frac{2\pi }{щu}=\frac{2\pi }{\sqrt{{\omega }^2_0-{\delta }^2}}\left(2.5\right),\]

учитывая, что:

    \[{\omega }_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}(2.6)\]

принимая во внимание выражение (2.3) формулу для T преобразуем к виду:

    \[T=\frac{2\pi }{\sqrt{\frac{1}{LC}-{\left(\frac{R}{2L}\right)}^2}}\left(2.7\right)\]

В таком случае искомое число колебаний найдем как:

    \[N=\frac{t}{T}=\frac{2L}{R}\frac{\sqrt{\frac{1}{LC}-{\left(\frac{R}{2L}\right)}^2}}{2\pi }=\frac{L}{\pi R}\sqrt{\frac{1}{LC}-{\left(\frac{R}{2L}\right)}^2}\]

Ответ N=\frac{L}{\pi R}\sqrt{\frac{1}{LC}-{\left(\frac{R}{2L}\right)}^2}
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.