Коэффициент теплопроводности

Определение и формула коэффициента теплопроводности

Коэффициентом теплопроводности является физическая величина, которая характеризует способность вещества проводить тепло.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Коэффициентом теплопроводности называют физическую величину, равную количеству тепла, которое переносится через единичную поверхность за 1 секунду, если градиент температур равен единице.

Обозначают коэффициент теплопроводности по-разному. Встречаются обозначения: K, $\varkappa ,\ \lambda$ и некоторые другие.

Коэффициент теплопроводности газа

В соответствии с кинетической теорией для газа коэффициент теплопроводности равен:

$\varkappa =\frac{1}{3}\left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle \rho c_V\left(1\right),$

где $\left\langle v\right\rangle$ — средняя скорость теплового движения молекул, $\left\langle \lambda \right\rangle$ — средняя длин свободного пробега молекулы, $\rho$ — плотность газа, $c_V$ — удельная теплоемкость газа в изохорном процессе.

Коэффициент теплопроводности металлов

Металлы являются хорошими проводниками тепла. Теплопроводность в металлах реализуется при помощи (в основном) посредством того, что энергию переносят свободные электроны. Коэффициент электронной теплопроводности металлов вычисляют при помощи формулы:

$\varkappa =\frac{{\pi }^3}{3}\frac{k^3n_0\lambda \left(W_F\right)}{m\left\langle v\left(W_F\right)\right\rangle }T\left(2\right),$

где $k$ — постоянная Больцмана, $n_0$ — концентрация электронов в металле, $\lambda \left(W_F\right)$ — длина свободного пробега, которая соответствует границе энергии Ферми ( $W_F$ ) для распределения электронов по температурам при T=0K, $m$ — масса электрона, $\left\langle v\left(W_F\right)\right\rangle$ — средняя скорость свободного пробега для тех же условий, что и $\lambda \left(W_F\right)$ .

Для идеального электронного газа выражение (2) преобразуется к виду:

$\varkappa =\frac{1}{2}kn_0\left\langle \lambda \right\rangle \left\langle v\right\rangle \left(3\right),$

где $\left\langle \lambda \right\rangle$ — средняя длина свободного пробега, $\left\langle v\right\rangle$ — средняя скорость теплового движения электронов.

Надо отметить, что теплопроводность, которая осуществляется кристаллической решеткой металлов существенно меньше, чем электронная. Ее можно рассчитать для кристаллов, рассматривая перемещение фотонов по кристаллу, при помощи формулы:

$\varkappa =\frac{1}{3}cv\left\langle \lambda \right\rangle (4),$

где с — теплоемкость единицы объема, $v$ — скорость звука, $\left\langle \lambda \right\rangle$ — длина свободного пробега фотона

Коэффициент теплопроводности и уравнение Фурье

Коэффициент теплопроводности входит в основное уравнение, которое описывает явление переноса тепла или уравнение Фурье. Явление теплопроводности появляется , если имеется градиент температуры. В одномерном стационарном случае уравнение Фурье можно записать как:

$dQ=-\varkappa \frac{dT}{dx}dSdt\ \left(5\right),$

где помимо коэффициента теплопроводности ( $\varkappa$ ) имеются: $dQ$ — количество теплоты, которое переносится через площадку $dS$ в направлении, которое совпадает с направлением нормали к $dS$ , в направлении уменьшения температуры, $\frac{dT}{dx}$ — градиент температуры. В нашем случае $T=T\left(x\right).$

Единицы измерения

Основной единицей измерения коэффициента теплопроводности в системе СИ является:

$\left[\varkappa \right]$ =Вт/м•К

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Каким будет коэффициент теплопроводности воздуха, если его давление равно $p$ , температура $T$ ? Диаметр молекулы считать равным $d$ . Постройте график зависимости коэффициента теплопроводности от температуры газа.

Решение

За основу решения задачи примем формулу расчета теплопроводности газа:

$\varkappa =\frac{1}{3}\left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle \rho c_V\left(1.1\right)$

Средняя длина свободного пробега молекулы может быть найдена при и известных макропараметрах, характеризующих газ (p, V, T) как:

$\left\langle \lambda \right\rangle =\frac{kT}{\sqrt{2}\pi d^2p}\left(1.2\right)$

Среднюю скорость теплового движения молекул примем равной:

$\left\langle v\right\rangle =\sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu }}\left(1.3\right)$

Плотность газа найдем, используя уравнение Менделеева — Клайперона:

$pV=\frac{m}{\mu }RT\left(1.4\right)\ \ и\$

зная, что

$\rho =\frac{m}{V}\left(1.5\right)$

Используя формулы (1.4) и (1.5), получим:

$\rho =\frac{p\mu }{RT}\left(1.6\right)$

Теплоемкость газа ( $c_V$ ) при постоянном объеме равна:

$c_V=\frac{i}{2}\frac{R}{\mu }\left(1.7\right),$

где число степеней свободы молекулы воздуха будем считать равным 5. Используя выражения (1.2), (1.3), (1.6) и (1.7) подставляя в формулу (1.1) получаем:

$\varkappa =\frac{1}{3}\sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu }}\frac{kT}{\sqrt{2}\pi d^2p}\frac{p\mu }{RT}\frac{i}{2}\frac{R}{\mu }=\frac{ik}{6\sqrt{2}\ \pi d^2\ }\sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu }}$

Мы получили функцию зависимости коэффициента теплопроводности для газа вида:

$\varkappa \left(T\right)=A\sqrt{T}$

Изобразим ее на графике (рис.1).

Рис. 1

Ответ

$\varkappa =\frac{ik}{6\sqrt{2}\ \pi d^2\ }\sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu }}$

ПРИМЕР 2

Задание

Каким будет коэффициент диффузии двухатомного газа (D), если известны для него: коэффициент теплопроводности ( $\varkappa$ ), его объем V, N — количество молекул данного газа?

Решение

Используем выражение коэффициента теплопроводности из кинетической теории:

$\varkappa =\frac{1}{3}\left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle \rho c_V\left(2.1\right)$