Коэффициент полезного действия механизма

Определение и формула коэффициента полезного действия механизма

В жизни человек сталкивается с проблемой и необходимостью превращения разных видов энергии. Устройства, которые предназначены для преобразований энергии, называют энергетическими машинами (механизмами). К энергетическим машинам, например, можно отнести: электрогенератор, двигатель внутреннего сгорания, электрический двигатель, паровую машину и др.

В теории любой вид энергии может полностью превратиться в другой вид энергии. Но на практике помимо преобразований энергии в машинах происходят превращения энергии, которые названы потерями. Совершенство энергетических машин определяет коэффициент полезного действия (КПД).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Коэффициентом полезного действия механизма (машины) называют отношение полезной энергии ( $W_{pol}$ ) к суммарной энергии (W), которая подводится к механизму. Обычно коэффициент полезного действия обозначают буквой $\eta$ (эта). В математическом виде определение КПД запишется так:

$\eta =\frac{W_{pol}}{W}\cdot 100\%\left(1\right)$

Коэффициент полезного действия можно определить через работу, как отношение $A_{pol}$ (полезная работа) к A (полная работа):

$\eta =\frac{A_{pol}}{A}\cdot 100\%(2)$

Кроме того, $\eta$ можно найти как отношение мощностей:

$\eta =\frac{N_{potr}}{N}\cdot 100\%\left(3\right),$

где $N$ — мощность, которую подводят механизму; $N_{potr}$ — мощность, которую получает потребитель от механизма. Выражение (3) можно записать иначе:

$\frac{{N-N}_{potr}}{N}=1-\eta \left(4\right),$

где ${(N-N}_{potr})$ — часть мощности, которая теряется в механизме.

Из определений КПД очевидно, что он не может быть более 100% (или не моет быть больше единицы). Интервал в котором находится КПД: $1\le \eta <100\%$ .

Коэффициент полезного действия используют не только в оценке уровня совершенства машины, но и определения эффективности любого сложного механизма и всякого рода приспособлений, которые являются потребителями энергии.

Любой механизм стараются сделать так, чтобы бесполезные потери энергии были минимальны ( $\eta \to 1$ ). С этой целью пытаются уменьшить силы трения (разного рода сопротивления).

КПД соединений механизмов

При рассмотрении конструктивно сложного механизма (устройства), вычисляют КПД всей конструкции и коэффициенты полезного действия всех его узлов и механизмов, которые потребляют и преобразуют энергию.

Если мы имеем n механизмов, которые соединены последовательно, то результирующий КПД системы находят как произведение КПД каждой части:

$\eta ={\eta }_1{\cdot \eta }_2\cdot_{\dots} \cdot {\eta }_n\left(5\right)$

При параллельном соединении механизмов (рис.1) (один двигатель приводит в действие несколько механизмов), полезная работа является суммой полезных работ на выходе из каждой отдельной части системы. Если работу затрачиваемую двигателем обозначить как $A=A_1+A_2+\dots A_n$ , то КПД в данном случае найдем как:

$\eta =\frac{A_{pol1}+A_{pol2}+\dots +A_{poln}}{A}=\frac{A_1{\eta }_1+A_2{\eta }_2+\dots A_n{\eta }_2}{A_1+A_2+\dots A_n}\left(6\right)$

Формула коэффициента полезного действия механизма

Рис. 1

Единицы измерения КПД

В большинстве случаев КПД выражают в процентах

$\left[\eta \right]=\%$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Какова мощность механизма, который поднимает n раз в секунду молот, имеющий массу m на высоту h, если КПД машины равен $\eta$ ?

Решение

Мощность (N) можно найти исходя из ее определения как:

$N=\frac{A}{t}\left(1.1\right)$

Так как в условии задана частота ( $\nu$ ) (молот поднимается n раз в секунду), то время найдем как:

$t=\frac{1}{\nu }=\frac{1}{n}\left(1.2\right)$

Работа будет найдена как:

$A=mgh\left(1.3\right)$

В таком случае (принимая во внимание (1.2) и (1.3)) выражение (1.1) преобразуется к виду:

$N=mgh\cdot n\left(1.4\right)$

Так как КПД системы равен $\eta$ , то запишем:

$N=\eta N'\left(1.5\right),$

где $N'$ — искомая мощность, тогда:

$N'=\frac{N}{\eta }=\frac{mgh \cdot n}{\eta }$

Ответ

$N'=\frac{mgh\cdot n}{\eta }$

ПРИМЕР 2

Задание

Каким будет КПД наклонной плоскости, если ее длина $l$ , высота h? Коэффициент трения при движении тела о данную плоскость равен $\mu$ .

Решение

Сделаем рисунок.

Пример коэффициента полезного действия механизма

Рис. 1

В качестве основы для решения задачи примем формулу для вычисления КПД в виде:

$\eta =\frac{A_{pol}}{A}\cdot 100\%(2.1)$

Полезной работой будет работа по подъему груза на высоту h:

$A_{pol}=mgh\ \left(2.2\right)$

Произведенную работу, при доставке груза путем перемещения его по данной плоскости можно найти как:

$A=\overrightarrow{F}\overrightarrow{s}=F\cdot l\ \left(1.3\right),$

где $\overrightarrow{F}$ — сила тяги, которую найдем из второго закона Ньютона, рассмотрев силы, которые приложены к телу (рис.1):

$\overrightarrow{F}+m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}+{\overrightarrow{F}}_{tr}=0\ \left(2.4\right)$

В проекциях на оси, уравнение (2.4) имеет вид:

$X:F-F_{tr}-mgsin\ \alpha =0\ \left(2.5\right),$

$Y:mg{\cos \alpha =N\ \left(2.6\right).\ }$

Принимаем во внимание, что силу трения скольжения можно найти как:

$F_{tr}=\mu N\to F_{tr}=\mu mgcos\ \alpha \ \left(2.7\right),$

где N — сила реакции опоры.

Подставим (2.7) в формулу (2.5), найдем силу тяги:

$F=\mu mgcos\ \alpha +mgsin\ \alpha =0\left(2.8\right),$

где $sin\ \alpha =\frac{h}{l}$ , cos $\alpha =\sqrt{1-\frac{h^2}{l^2}}$ . Подставим выражения (2.2) и (2.8), принимая во внимание (2.3) в уравнение (2.1), получим:

$\eta =\frac{mgh}{(\mu mgcos\ \alpha +mgsin\ \alpha )l}\cdot 100\%=\frac{h}{\left(\mu \sqrt{l^2-h^2}+h\right)}\cdot 100\%$