Коэффициент динамической вязкости

Определение и формула коэффициента динамической вязкости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Коэффициент динамической вязкости $\eta$ численно равен модулю силы, которая действует на единицу площади при градиенте скорости, равном единице. Коэффициент ( $\eta$ ), входит в уравнение, которое определяет модуль силы внутреннего трения в жидкостях и газах:

$F=\eta \left|\frac{dv}{dx}\right|S\left(1\right),$

где $\frac{dv}{dx}$ — градиент скорости ( $v$ — скорость течения газа (жидкости)) по оси X, в направлении перпендикулярном к направлению движения слоев. S — площадь поверхности, которая лежит на границе слоев вещества, по которой действует сила трения F.

Он зависит от свойств газа (жидкости). Коэффициент динамической вязкости можно определить через импульс ( $L$ ), который передается от слоя к слою вещества (поток импульса через поверхность S). Уравнение для L можно представить как:

$L=-\eta \frac{dv}{dx}S\left(2\right),$

где знак минус указывает на то, что импульс «течет» в сторону убывания скорости вещества.

Так как существует вязкость (внутренне трение), для течения газа (жидкости по трубе) необходима разность давлений. Чем больше коэффициент динамической вязкости, тем больше должна быть разность давлений для придания заданной скорости течению.

Коэффициент динамической вязкости газа

В соответствии с кинетической теорией газов коэффициент динамической вязкости вычисляют как:

$\eta =\frac{1}{3}\left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle \rho \left(3\right),$

где $\left\langle v\right\rangle$ — средняя скорость теплового движения молекул газа, $\left\langle \lambda \right\rangle$ — средняя длина свободного пробега молекулы. Выражение (3) показывает, что при малом давлении (разреженный газ) вязкость почти не зависит от давления, так как $\rho \sim p,\ a\ \lambda \sim \frac{1}{p}.$ Но такой вывод справедлив до момента, пока отношение длины свободного пробега молекулы к линейным размерам сосуда не станет приблизительно равным единице. С ростом температуры вязкость газов обычно растет, так как $\left\langle v\right\rangle \sim \sqrt{T}.$

Коэффициент вязкости жидкостей

Коэффициент вязкости можно определять силами взаимодействия молекул вещества. Эти силы зависят от среднего расстояния между частицами, при этом $\eta$ определяют при помощи формулы Бачинского, полученной экспериментально:

$\eta =\frac{A}{V_{\mu }-B}\left(4\right),$

где $V_{\mu }$ — молярный объем жидкости, A и $B$ — постоянные величины.

Вязкость жидкостей с ростом температуры уменьшается, при увеличении давления растет.

Важные формулы, в которые входит коэффициент динамической вязкости

Коэффициент вязкости присутствует в формуле силы трения ( $\overline{F}$ — сила Стокса), которая действует на тела имеющие форму сферы (маленькие частицы), которые движутся в вязкой жидкости:

$\overline{F}=-6\pi r\eta \overline{v}\left(5\right),$

$r$ — радиус сферической частицы, $\overline{v}$ — скорость движения частицы.

Характер движения газа (жидкости) определяется при помощи числа Рейнольдса ( $Re$ ):

$Re=\frac{Dv\rho }{\eta }\left(6\right),$

$D$ — величина, которая характеризует линейные размеры тела, обтекаемого жидкостью (газом).

Единицы измерения

Основной единицей измерения коэффициента динамической вязкости в системе СИ является:

$\left[\eta \right]=$ Па • с

В СГС:

$\left[\eta \right]=$ пуаз

1Па• c=10 пуаз

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Какова максимальная скорость возможна у капли дождя, если ее считать шариком диаметра d, динамическая вязкость воздуха равна $\eta$ ?

Решение

Будем считать, что в момент падения на каплю действуют: сила тяжести и сила сопротивления воздуха (сила Стокса) рис.1:

$m\overline{g}+\overline{F}=0\left(1.1\right)$

Формула коэффициента динамической вязкости

Рис. 1

Максимальной скорости дождевая капля достигает тогда, когда сила тяжести равна силе сопротивления воздуха.

В проекции на ось Y выражение (1.1) примет вид:

$mg=F\left(1.2\right)$

Сила сопротивления воздуха может быть найдена по формуле Стокса, а именно:

$\overline{F}=-6\pi r\eta \overline{v}\to F=6\pi r\eta v=3\pi d\eta v\left(1.3\right)$

Учитывая выражение (1.2) имеем:

$mg=3\pi d\eta v\left(1.4\right)$

Масса капли воды может быть найдена как:

$m=\rho V=\rho \frac{\pi {\left(d\right)}^3}{6}\left(1.5\right),$

где $\rho$ — плотность воды. Подставим (1.5) в формулу (1.4), выразим искомую скорость:

$\rho \frac{\pi {\left(d\right)}^3}{6}g=3\pi d\eta v\to v=\rho \frac{{\left(d\right)}^2}{18\eta }g$

Ответ

$v=\rho \frac{{\left(d\right)}^2}{18\eta }g$

ПРИМЕР 2

Задание

Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами $R_1$ и $R_2$ заполнено газом (рис.2). Внутренний цилиндр статичен, внешний вращается с небольшой угловой скоростью $\omega$ . Момент сил трения, действующих на единицу длины внутреннего цилиндра равен $N$ . Каким будет коэффициент вязкости газа, если можно считать, что сила трения, действующая на единицу площади поверхности цилиндра задана выражением ( $\sigma =\eta r\frac{\partial \omega }{\partial r}$ ), где r — радиус цилиндрической поверхности.

Пример коэффициента динамической вязкости

Рис. 2

Решение

Выделим в пространстве между цилиндрами цилиндрический слой газа, радиуса r. Момент силы трения для него можно записать как:

$M=F_{tr}\cdot r\left(2.1\right)$

В свою очередь силу трения по условию задачи представим как:

$F_{tr}=\sigma \Delta S=\eta r\frac{\partial \omega }{\partial r}\cdot 2\pi rl\left(2.2\right),$

где $l$ — высота цилиндров.

Подставим выражение для силы трения (2.2) в формулу (2.1), имеем:

$M=\eta r\frac{\partial \omega }{\partial r}\cdot 2\pi rl\cdot r=Nl\to \eta \partial \omega =\frac{N}{2\pi r^3}\partial r\left(2.3\right)$

Проинтегрируем обе части уравнения (2.3), получим:

$\eta \int^{\omega }_0{d}\omega =\frac{N}{2\pi }\int^{R_2}_{R_1}{\frac{1}{r^3}d}r\to \eta \omega =\frac{N}{4\pi }\left(\frac{1}{{R_1}^2-{R_2}^2}\right)\to \eta =\frac{N}{4\pi \omega }\left(\frac{1}{{R_1}^2-{R_2}^2}\right)$