Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Коэффициент диффузии

Определение и формула коэффициента диффузии

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Диффузией называют процесс взаимного проникновения двух веществ, которые граничат друг с другом, вызванный хаотическим движением молекул.

Процесс диффузии двухкомпонентной системе для одномерного случая (\rho =\rho (x)) описывают при помощи закона Фика:

    \[dm=-D\frac{d\rho }{dx}dSdt\left(1\right),\]

где dm — количество диффундирующего вещества первой составляющей, которая за отрезок времени dt переносится через элементарную площадь dS в направлении нормали x к этой площадке в сторону убыли первого компонента. \frac{d\rho }{dx} — градиент плотности. D — коэффициент диффузии.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Коэффициентом диффузии называют физическую величину, которая численно равна количеству диффундирующего вещества, которое проникает за единицу времени через единицу поверхности, если разность плотностей на двух поверхностях, находящихся на расстоянии равном единице длины, равна единице.

Для газов при нормальных условиях коэффициент диффузии лежит внутри интервала: 0,1\le D\le 1\ (\frac{{cm}^2}{c}). Для жидкостей коэффициент диффузии примерно в {10}^5\ раз\ меньше.

Формулы для коэффициента диффузии

В соответствии с кинетической теорией газов коэффициент диффузии можно вычислить как:

    \[D=\frac{1}{3}\left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle =\frac{1}{3}\frac{\left\langle v\right\rangle }{\sqrt{2}n_0\sigma }\left(2\right),\]

где \left\langle v\right\rangle — средняя скорость теплового движения молекул; \left\langle \lambda \right\rangle — средняя длина свободного пробега; n_0 — концентрация молекул, \sigma— эффективное поперечное сечение соударения молекул.

Согласно кинетической теории газов коэффициент диффузии связан с другими коэффициентами переноса, например, с коэффициентом вязкости (\eta):

    \[\eta =\rho D\left(3\right)\]

Коэффициент диффузии Броуновской частицы

Для броуновской частицы, которую можно считать сферической коэффициент диффузии рассчитывают как:

    \[D=\frac{kT}{6\pi \eta a}\left(4\right),\]

где a — радиус частицы; T — температура среды. При этом среднюю величину квадрата смещения (\left\langle \Delta x^2\right\rangle) вдоль оси X за время t можно вычислить как:

    \[\left\langle \Delta x^2\right\rangle =2Dt\left(5\right)\]

Броуновская частица может двигаться не только поступательно, но и вращаться. Коэффициент вращательной диффузии (D_{vr}) броуновской частицы, которую можно считать сферой радиуса a, равен:

    \[D_{vr}=\frac{kT}{8\pi \eta a^3}\left(6\right)\]

Среднюю величину квадрата угла поворота ({\Delta }^2_{\varphi }) частицы при вращении, за время t находят как:

    \[{\Delta }^2_{\varphi }=2D_{vr}t\left(7\right)\]

Единицы измерения

Основной единицей измерения коэффициента диффузии в системе СИ является:

    \[\left[D\right]=\frac{m^2}{c}\]

В СГС:

    \[\left[D\right]=\frac{cm^2}{c}\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Каков коэффициент диффузии водорода при нормальных условиях. Считайте, что для молекулы водорода в рассматриваемых условиях \left\langle \lambda \right\rangle = 0,2 мкм =0,2 \cdot 10^{-6} м.
Решение В качестве основы для решения задачи примем формулу для коэффициента диффузии газа:

    \[D=\frac{1}{3}\left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle \left(1.1\right)\]

Среднюю скорость теплового движения молекул (\left\langle v\right\rangle) найдем, используя выражение:

    \[\left\langle v\right\rangle =\sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu }}\left(1.2\right),\]

где \mu =2\cdot {10}^{-3} кг/моль — молярная масса молекулы водорода, R=8,31 Дж/К — универсальная газовая постоянная, T=273 K — температура, считающаяся нормальной для газа (нормальный физические условия). Учитывая выражения (1.2) найдем коэффициент диффузии как:

    \[D=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu }}\left\langle \lambda \right\rangle \]

Проведем вычисления искомого коэффициента:

    \[D=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{8\cdot 8,31\cdot 273}{3,14\cdot 2\cdot {10}^{-3}}}\cdot 0,2\cdot {10}^{-6}\approx 9\cdot {10}^{-3}\left(\frac{m^2}{c}\right)\]

Ответ D=9\cdot {10}^{-3}\frac{m^2}{c}
ПРИМЕР 2
Задание Изобразите график зависимости коэффициента диффузии для идеальных газов постоянной массы при изобарном процессе. Какой будет функция D=D(T)?
Решение Коэффициент диффузии для газа определен выражением:

    \[D=\frac{1}{3}\left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle \left(2.1\right),\]

где среднюю скорость теплового движения молекул можно найти как:

    \[\left\langle v\right\rangle =\sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu }}\left(2.2\right)\]

Среднюю длину свободного пробега молекулы вычисляют при помощи формулы:

    \[\left\langle \lambda \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2} \pi \sigma n}\left(2.3\right),\]

где n — концентрация молекул найдется в соответствии с уравнением состояния идеального газа:

    \[p=nkT\to n=\frac{p}{kT}\left(2.4\right)\]

Учтем (2.4) и (2.3), (2.2) в (2.1), получим:

    \[D=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu }}\frac{kT}{\sqrt{2}\ \pi \sigma p}\left(2.5\right)\]

Так как процесс изобарный (p=const), получим:

    \[D=A{\left(T\right)}^{\frac{3}{2}},\]

где в заданном процессе A — постоянная величина. Тогда график D(T) изобразим на рис.1.

Формула коэффициента диффузии

Рис. 1

Ответ D=A{\left(T\right)}^{\frac{3}{2}}
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.