Интегралы от иррациональных функций

Интеграл от корня равен двум таким же корням в кубе, деленным на три, плюс константа интегрирования

$\int{\sqrt{x}dx}=\frac{2\sqrt{{{x}^{3}}}}{3}+C$

Для интегрирования иррациональной функции, содержащей ${{\left( x\pm a \right)}^{\frac{m}{n}}}$ применяется подстановка $x\pm a={{t}^{n}} ,$ которая позволяет избавиться от иррациональности.

Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней переменной $x ,$ делается подстановка $x={{t}^{s}} ,$ где $s$ – общий знаменатель всех дробных степеней, входящих в данную функцию.

Рациональная функция, содержащая выражение $\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$ , интегрируется с помощью подстановки $\frac{ax+b}{cx+d}={{t}^{n}}$ .

Интегрирование иррациональных функций, содержащих $\sqrt{{{a}^{2}}\pm {{x}^{2}}},\ \sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}} ,$ производится с помощью тригонометрических и гиперболических подстановок.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найти интеграл

$\int{\frac{dx}{\sqrt[3]{x-1}}}$

Решение

Так как показатель корня равен трем, то заменяем подкоренное выражение на новую переменную в кубе, то есть

$\int{\frac{dx}{\sqrt[3]{x-1}}}\ \left\| \begin{matrix} x-1={{t}^{3}} \\ d\left( x-1 \right)=d\left( {{t}^{3}} \right) \\ dx=3{{t}^{2}}dt \\ \end{matrix} \right\|=$

$=\int{\frac{3{{t}^{2}}dt}{\sqrt[3]{{{t}^{3}}}}}=3\int{\frac{{{t}^{2}}dt}{t}}=3\int{t\ dt}=3\cdot \frac{{{t}^{2}}}{2}+C\ \left\| \begin{matrix} {{t}^{3}}=x-1\Rightarrow \\ \Rightarrow t=\sqrt[3]{x-1} \\ \end{matrix} \right\|=$

$=\frac{3}{2}\cdot {{\left( \sqrt[3]{x-1} \right)}^{2}}+C=\frac{3\sqrt[3]{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}{2}+C$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Решить интеграл

$\int{\frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}{\sqrt[6]{x}+1}dx}$

Решение

Итак, под знаком интеграла имеем следующие степени: $\frac{1}{2},\ \frac{1}{3}$ и $\frac{1}{6} ,$ тогда общий знаменатель записанных дробей равен шести: $s=6 .$ Итак, делаем замену: $x={{t}^{6}} :$

$\int{\frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}{\sqrt[6]{x}+1}dx}\ \left\| \begin{matrix} x={{t}^{6}} \\ dx=6{{t}^{5}}dt \\ \end{matrix} \right\|=\int{\frac{\sqrt{{{t}^{6}}}+\sqrt[3]{{{t}^{6}}}}{\sqrt[6]{{{t}^{6}}}+1}\cdot 6{{t}^{5}}dt}=6\int{\frac{{{t}^{3}}+{{t}^{2}}}{t+1}\cdot {{t}^{5}}dt}=$

$=6\int{\frac{{{t}^{7}}\left( t+1 \right)}{t+1}dt}=6\int{{{t}^{7}}dt}=$

$=6\cdot \frac{{{t}^{8}}}{8}+C=\frac{3}{4}{{t}^{8}}+C\ \left\| \begin{matrix} {{t}^{6}}=x\Rightarrow \\ \Rightarrow t=\sqrt[6]{x} \\ \end{matrix} \right\|=\frac{3}{4}\cdot {{\left( \sqrt[6]{x} \right)}^{8}}+C=\frac{3}{4}\cdot \sqrt[3]{{{x}^{4}}}+C$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Интегралы от иррациональных функций

Примеры решения задач