Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Интегралы от иррациональных функций

Интеграл от корня равен двум таким же корням в кубе, деленным на три, плюс константа интегрирования

    \[\int{\sqrt{x}dx}=\frac{2\sqrt{{{x}^{3}}}}{3}+C\]

Для интегрирования иррациональной функции, содержащей {{\left( x\pm a \right)}^{\frac{m}{n}}} применяется подстановка x\pm a={{t}^{n}} , которая позволяет избавиться от иррациональности.

Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней переменной x , делается подстановка x={{t}^{s}} , где s – общий знаменатель всех дробных степеней, входящих в данную функцию.

Рациональная функция, содержащая выражение  \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}, интегрируется с помощью подстановки  \frac{ax+b}{cx+d}={{t}^{n}} .

Интегрирование иррациональных функций, содержащих \sqrt{{{a}^{2}}\pm {{x}^{2}}},\ \sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}} , производится с помощью тригонометрических и гиперболических подстановок.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти интеграл

    \[ \int{\frac{dx}{\sqrt[3]{x-1}}} \]

Решение Так как показатель корня равен трем, то заменяем подкоренное выражение на новую переменную в кубе, то есть

    \[\int{\frac{dx}{\sqrt[3]{x-1}}}\ \left\| \begin{matrix} 				   x-1={{t}^{3}} \\  				  d\left( x-1 \right)=d\left( {{t}^{3}} \right) \\  				  dx=3{{t}^{2}}dt \\  				\end{matrix} \right\|=\]

    \[=\int{\frac{3{{t}^{2}}dt}{\sqrt[3]{{{t}^{3}}}}}=3\int{\frac{{{t}^{2}}dt}{t}}=3\int{t\ dt}=3\cdot \frac{{{t}^{2}}}{2}+C\ \left\| \begin{matrix} 				   {{t}^{3}}=x-1\Rightarrow  \\  				  \Rightarrow t=\sqrt[3]{x-1} \\  				\end{matrix} \right\|=\]

    \[=\frac{3}{2}\cdot {{\left( \sqrt[3]{x-1} \right)}^{2}}+C=\frac{3\sqrt[3]{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}{2}+C\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Решить интеграл

    \[ \int{\frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}{\sqrt[6]{x}+1}dx} \]

Решение Итак, под знаком интеграла имеем следующие степени: \frac{1}{2},\ \frac{1}{3} и \frac{1}{6} , тогда общий знаменатель записанных дробей равен шести: s=6 . Итак, делаем замену: x={{t}^{6}} :

    \[\int{\frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}{\sqrt[6]{x}+1}dx}\ \left\| \begin{matrix} 				   x={{t}^{6}} \\  				  dx=6{{t}^{5}}dt \\  				\end{matrix} \right\|=\int{\frac{\sqrt{{{t}^{6}}}+\sqrt[3]{{{t}^{6}}}}{\sqrt[6]{{{t}^{6}}}+1}\cdot 6{{t}^{5}}dt}=6\int{\frac{{{t}^{3}}+{{t}^{2}}}{t+1}\cdot {{t}^{5}}dt}=\]

    \[=6\int{\frac{{{t}^{7}}\left( t+1 \right)}{t+1}dt}=6\int{{{t}^{7}}dt}=\]

    \[=6\cdot \frac{{{t}^{8}}}{8}+C=\frac{3}{4}{{t}^{8}}+C\ \left\| \begin{matrix} 				   {{t}^{6}}=x\Rightarrow  \\  				  \Rightarrow t=\sqrt[6]{x} \\  				\end{matrix} \right\|=\frac{3}{4}\cdot {{\left( \sqrt[6]{x} \right)}^{8}}+C=\frac{3}{4}\cdot \sqrt[3]{{{x}^{4}}}+C\]

Ответ