Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Интеграл тангенса

Интеграл тангенса равен минус натуральному логарифму косинуса того же аргумента плюс константа интегрирования

    \[ \int{\text{tg}\,xdx}=-\ln \left| \cos x \right|+C \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Доказать формулу \int{\text{tg}\,xdx}=-\ln \left| \cos x \right|+C
Решение Указанный интеграл находится методом замены переменной:

    \[\int{\text{tg}\,xdx}=\int{\frac{\sin xdx}{\cos x}}\ \left\| \begin{matrix} 				   \cos x=t \\  				  -\sin xdx=dt \\  				  \sin xdx=-dt \\  				\end{matrix} \right\|=\int{\frac{-dt}{t}}=-\ln \left| t \right|+C=-\ln \left| \cos x \right|+C\]

Что и требовалось доказать.
ПРИМЕР 2
Задание Найти интеграл \int{\text{tg}\,2xdx}
Решение Данный интеграл сведем к указанной выше формуле заменой переменной:

    \[\int{\text{tg}\,2xdx}\ \left\| \begin{matrix} 				   2x=t \\  				  2dx=dt \\  				  dx=\frac{dt}{2} \\  				\end{matrix} \right\|=\int{\text{tg}\,t\cdot \frac{dt}{2}}=\frac{1}{2}\int{\text{tg}\,t\,dt}=\frac{1}{2}\left( -\ln \left| \cos t \right| \right)+C=-\frac{\ln \left| \cos 2x \right|}{2}+C\]

Ответ