Интеграл от косинуса

Интеграл от косинуса равен синусу такого же аргумента плюс константа интегрирования

$\int{\cos xdx}=\sin x+C$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Найти интеграл $\int{\left( \cos x+4x \right)dx}$
Решение	Интеграл суммы равен сумме интегралов: $\int{\left( \cos x+4x \right)dx}=\int{\cos xdx}+\int{4xdx}=\sin x+4\cdot \frac{{{x}^{2}}}{2}+C=\sin x+2{{x}^{2}}+C$
Ответ	$\int{\left( \cos x+4x \right)dx}=\sin x+2{{x}^{2}}+C$

ПРИМЕР 2

Задание

Решить интеграл $\int{{{\cos }^{2}}xdx}$

Решение

Чтобы найти интеграл от косинуса в квадрате используем формулу понижения степени:

${{\cos }^{2}}\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$

будем иметь:

$\int{{{\cos }^{2}}xdx}=\int{\frac{1+\cos 2x}{2}dx}=\frac{1}{2}\int{dx}+\frac{1}{2}\int{\cos 2xdx}\ \left\| \begin{matrix} 2x=t \\ 2dx=dt \\ dx=\frac{dt}{2} \\ \end{matrix} \right\|=$

$=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\int{\cos t\cdot \frac{dt}{2}}=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\int{\cos tdt}=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\sin t+C=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Интеграл от косинуса

Примеры решения задач