Интеграл от арксинуса

Интеграл от арксинуса равен сумме произведения переменной интегрирования на этот арксинус и корню квадратному из разности единицы и переменной интегрирования в квадрате плюс константа интегрирования

$\int{\arcsin xdx}=x\arcsin x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}+C$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Доказать, что $\int{\arcsin xdx}=x\arcsin x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}+C$

Решение

Для доказательства применим формулу интегрирования по частям:

$\int{\arcsin xdx}\ \left\| \begin{matrix} u=\arcsin x,\ dv=dx \\ du=\frac{dx}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}},\ v=x \\ \end{matrix} \right\|=x\arcsin x-\int{\frac{xdx}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}\ \left\| \begin{matrix} 1-{{x}^{2}}={{t}^{2}} \\ -2xdx=2tdt \\ xdx=-tdt \\ \end{matrix} \right\|=$

$=x\arcsin x-\int{\frac{-tdt}{\sqrt{{{t}^{2}}}}}=x\arcsin x+\int{dt}=x\arcsin x+t+C=x\arcsin x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}+C$

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 2

Задание

Найти интеграл $\int{\arcsin 4xdx}$

Решение

Сведем данный интеграл к формуле, предварительно сделав в нем замену переменной:

$\int{\arcsin 4xdx}\ \left\| \begin{matrix} 4x=t \\ 4dx=dt \\ dx=\frac{dt}{4} \\ \end{matrix} \right\|=\int{\arcsin t\cdot \frac{dt}{4}}=\frac{1}{4}\int{\arcsin tdt}=$

$=\frac{1}{4}\left( t\arcsin t+\sqrt{1-{{t}^{2}}} \right)+C=\frac{1}{4}\left( 4x\arcsin 4x+\sqrt{1-{{\left( 4x \right)}^{2}}} \right)+C=$

$=x\arcsin 4x+\frac{\sqrt{1-16{{x}^{2}}}}{4}+C$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Интеграл от арксинуса

Примеры решения задач