Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Интеграл от арксинуса

Интеграл от арксинуса равен сумме произведения переменной интегрирования на этот арксинус и корню квадратному из разности единицы и переменной интегрирования в квадрате плюс константа интегрирования

    \[ \int{\arcsin xdx}=x\arcsin x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}+C \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Доказать, что \int{\arcsin xdx}=x\arcsin x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}+C
Решение Для доказательства применим формулу интегрирования по частям:

    \[\int{\arcsin xdx}\ \left\| \begin{matrix} 				   u=\arcsin x,\  dv=dx  \\ 				   du=\frac{dx}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}},\  v=x  \\ 				\end{matrix} \right\|=x\arcsin x-\int{\frac{xdx}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}\ \left\| \begin{matrix} 				   1-{{x}^{2}}={{t}^{2}} \\  				  -2xdx=2tdt \\  				  xdx=-tdt \\  				\end{matrix} \right\|=\]

    \[=x\arcsin x-\int{\frac{-tdt}{\sqrt{{{t}^{2}}}}}=x\arcsin x+\int{dt}=x\arcsin x+t+C=x\arcsin x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}+C\]

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 2
Задание Найти интеграл \int{\arcsin 4xdx}
Решение Сведем данный интеграл к формуле, предварительно сделав в нем замену переменной:

    \[\int{\arcsin 4xdx}\ \left\| \begin{matrix} 				   4x=t \\  				  4dx=dt \\  				  dx=\frac{dt}{4} \\  				\end{matrix} \right\|=\int{\arcsin t\cdot \frac{dt}{4}}=\frac{1}{4}\int{\arcsin tdt}=\]

    \[=\frac{1}{4}\left( t\arcsin t+\sqrt{1-{{t}^{2}}} \right)+C=\frac{1}{4}\left( 4x\arcsin 4x+\sqrt{1-{{\left( 4x \right)}^{2}}} \right)+C=\]

    \[=x\arcsin 4x+\frac{\sqrt{1-16{{x}^{2}}}}{4}+C\]

Ответ