Интеграл котангенса

Интеграл котангенса равен натуральному логарифму от синуса плюс константа интегрирования

$\int{\text{ctg}\,xdx}=\ln \left| \sin x \right|+C$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Доказать формулу $\int{\text{ctg}\,xdx}=\ln \left| \sin x \right|+C$

Решение

$\int{\text{ctg}\,xdx}=\int{\frac{\cos x\,dx}{\sin x}}\ \left\| \begin{matrix} \sin x=t \\ \cos xdx=dt \\ \end{matrix} \right\|=\int{\frac{dt}{t}}=\ln \left| t \right|+C=\ln \left| \sin x \right|+C$

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 2

Задание	Найти интеграл $\int{\text{ctg}\left( x+1 \right)dx}$
Решение	Сведем заданный интеграл к выше указанному при помощи метода замены переменной: $\int{\text{ctg}\left( x+1 \right)dx}\ \left\\| \begin{matrix} x+1=t \\ dx=dt \\ \end{matrix} \right\\|=\int{\text{ctg}\,tdt}=\ln \left\| \sin t \right\|+C=\ln \left\| \sin \left( x+1 \right) \right\|+C$
Ответ	$\int{\text{ctg}\left( x+1 \right)dx}=\ln \left\| \sin \left( x+1 \right) \right\|+C$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Интеграл котангенса

Примеры решения задач