Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Интеграл котангенса

Интеграл котангенса равен натуральному логарифму от синуса плюс константа интегрирования

    \[ \int{\text{ctg}\,xdx}=\ln \left| \sin x \right|+C \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Доказать формулу \int{\text{ctg}\,xdx}=\ln \left| \sin x \right|+C
Решение Сделаем замену переменной:

    \[\int{\text{ctg}\,xdx}=\int{\frac{\cos x\,dx}{\sin x}}\ \left\| \begin{matrix} 				   \sin x=t \\  				  \cos xdx=dt \\  				\end{matrix} \right\|=\int{\frac{dt}{t}}=\ln \left| t \right|+C=\ln \left| \sin x \right|+C\]

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 2
Задание Найти интеграл \int{\text{ctg}\left( x+1 \right)dx}
Решение Сведем заданный интеграл к выше указанному при помощи метода замены переменной:

    \[\int{\text{ctg}\left( x+1 \right)dx}\ \left\| \begin{matrix} 				   x+1=t \\  				  dx=dt \\  				\end{matrix} \right\|=\int{\text{ctg}\,tdt}=\ln \left| \sin t \right|+C=\ln \left| \sin \left( x+1 \right) \right|+C\]

Ответ \int{\text{ctg}\left( x+1 \right)dx}=\ln \left| \sin \left( x+1 \right) \right|+C