Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Интеграл арктангенса

Интеграл от арктангенса равен переменной интегрирования, умноженной на этот арктангенс, минус логарифм натуральный корня из суммы единицы и переменной интегрирования в квадрате плюс константа интегрирования

    \[ \int{\text{arctg}\,xdx}=x\cdot \text{arctg}\,x-\ln \sqrt{1+{{x}^{2}}}+C \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Доказать, что \int{\text{arctg}\,xdx}=x\cdot \text{arctg}\,x-\ln \sqrt{1+{{x}^{2}}}+C
Решение Для доказательства указанной формулы применим метод интегрирования частями:

    \[\int{\text{arctg}\,x\,dx}\ \left\| \begin{matrix} 				   u=\text{arctg}\,x ,\  dv=dx  \\ 				   du=\frac{dx}{1+{{x}^{2}}} ,\ v=x  \\ 				\end{matrix} \right\|=x\cdot \text{arctg}\,x-\int{\frac{xdx}{1+{{x}^{2}}}}\ \left\| \begin{matrix} 				   1+{{x}^{2}}=t \\  				  2xdx=dt \\  				  xdx=\frac{dt}{2} \\  				\end{matrix} \right\|=\]

    \[=x\cdot \text{arctg}\,x-\frac{1}{2}\int{\frac{dt}{t}}=x\cdot \text{arctg}\,x-\frac{1}{2}\ln \left| t \right|+C=x\cdot \text{arctg}\,x-\ln \sqrt{\left| 1+{{x}^{2}} \right|}+C=\]

    \[=x\cdot \text{arctg}\,x-\ln \sqrt{1+{{x}^{2}}}+C\]

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 2
Задание Найти интеграл \int{x\,\text{arctg}\,{{x}^{2}}dx}
Решение Для сведения интеграла к известной формуле применим метод замены переменной:

    \[\int{x\,\text{arctg}\,{{x}^{2}}dx}\ \left\| \begin{matrix} 				   {{x}^{2}}=t \\  				  2xdx=dt \\  				  xdx=\frac{dt}{2} \\  				\end{matrix} \right\|=\int{\text{arctg}\,t\cdot \frac{dt}{2}}=\frac{1}{2}\int{\text{arctg}\,tdt}=\]

    \[=\frac{1}{2}\left( t\cdot \text{arctg}\,t-\ln \sqrt{1+{{t}^{2}}} \right)+C=\frac{1}{2}\left( {{x}^{2}}\cdot \text{arctg}\,{{x}^{2}}-\ln \sqrt{1+{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}} \right)+C=\]

    \[=\frac{{{x}^{2}}\text{arctg}\,{{x}^{2}}}{2}-\frac{1}{2}\ln \sqrt{1+{{x}^{4}}}+C\]

Ответ