Длина дуги кривой через интеграл
В декартовой системе координат
Пусть в декартовой системе координат задана плоская кривая уравнением , . Если функция и ее производная непрерывны на отрезке , то длина дуги кривой вычисляется по формуле:
Задание | Вычислить длину кривой |
Решение | Найдем производную :
Тогда
Итак, искомая длина
|
Ответ |
Если кривая задана параметрически
Если уравнение кривой задано параметрически , где и – непрерывные функции с непрерывными производными, то длина заданной кривой находится по формуле:
Задание | Найти длину дуги кривой
|
Решение | Найдем
Тогда
Итак, искомая длина дуги
|
Ответ |
В полярной системе координат
Пусть кривая задана уравнением в полярных координатах , . Предположим, что функция и ее производная непрерывны на отрезке . Тогда длина дуги кривой вычисляется по формуле:
Задание | Найти длину дуги кардиоиды |
Решение | Найдем выражение:
Отсюда
Тогда искомая длина
|
Ответ |