Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Длина дуги кривой через интеграл

В декартовой системе координат

Пусть в декартовой системе координат задана плоская кривая AB уравнением y=f\left( x \right), x\in \left[ a;\ b \right]. Если функция f\left( x \right) и ее производная {f}'\left( x \right) непрерывны на отрезке \left[ a;\ b \right], то длина дуги кривой вычисляется по формуле:

    \[ l=\int\limits_{a}^{b}{\sqrt{1+{{\left( {f}'\left( x \right) \right)}^{2}}}dx} \]

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить длину кривой y=\text{ch}\ x+3,\ x\in \left[ 0;\ 2 \right]
Решение Найдем производную {f}'\left( x \right):

    \[{y}'={{\left( \text{ch}\ x+3 \right)}^{\prime }}=\text{sh}\ x\]

Тогда

    \[\sqrt{1+{{\left( {f}'\left( x \right) \right)}^{2}}}=\sqrt{1+\text{s}{{\text{h}}^{\text{2}}}x}=\sqrt{\text{c}{{\text{h}}^{\text{2}}}x}=\text{ch}\ x\]

Итак, искомая длина

    \[l=\left. \int\limits_{0}^{2}{\text{sh}\ xdx}=\text{ch}\ x \right|_{0}^{2}=\text{ch}\ 2-\text{ch}\ 0=\text{ch}\ 2-1\]

Ответ l=\text{ch}\ 2-1

Если кривая задана параметрически

Если уравнение кривой AB задано параметрически \left\{ \begin{matrix}    x=x\left( t \right) \\    y=y\left( t \right) \\  \end{matrix} \right.\ \text{ } t\in \left[ \alpha ;\ \beta  \right], где x\left( t \right) и y\left( t \right) – непрерывные функции с непрерывными производными, то длина l заданной кривой находится по формуле:

    \[ l=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{\sqrt{{{\left( {x}'\left( t \right) \right)}^{2}}+{{\left( {y}'\left( t \right) \right)}^{2}}}dt}\]

ПРИМЕР 2
Задание Найти длину дуги кривой

    \[ \left\{ \begin{matrix}    x=2{{\sin }^{3}}t \\    y=2{{\cos }^{3}}t \\  \end{matrix} \right.\ 0\le \text{ } t\le \frac{\pi }{4}\]

Решение Найдем

    \[ \sqrt{{{\left( {x}'\left( t \right) \right)}^{2}}+{{\left( {y}'\left( t \right) \right)}^{2}}} \]

    \[{x}'\left( t \right)={{\left( 2{{\sin }^{3}}t \right)}^{\prime }}=6{{\sin }^{2}}t\cos t\]

    \[{y}'\left( t \right)={{\left( 2{{\cos }^{3}}t \right)}^{\prime }}=6{{\cos }^{2}}t\left( -\sin t \right)=-6\sin t{{\cos }^{2}}t\]

Тогда

    \[\sqrt{{{\left( {x}'\left( t \right) \right)}^{2}}+{{\left( {y}'\left( t \right) \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 6{{\sin }^{2}}t\cos t \right)}^{2}}+{{\left( -6\sin t{{\cos }^{2}}t \right)}^{2}}}=\]

    \[=\sqrt{36{{\sin }^{4}}t{{\cos }^{2}}t+36{{\sin }^{2}}t{{\cos }^{4}}t}=\sqrt{36{{\sin }^{2}}t{{\cos }^{2}}t\left( {{\sin }^{2}}t+{{\cos }^{2}}t \right)}=\]

    \[=\sqrt{36{{\sin }^{4}}t{{\cos }^{2}}t+36{{\sin }^{2}}t{{\cos }^{4}}t}=6\left| \sin t\cos t \right|\]

Итак, искомая длина дуги

    \[l=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{6\left| \sin t\cos t \right|dt}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{6\sin t\cos tdt}=3\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\sin 2tdt}=3\cdot \left. \left( -\frac{\cos 2t}{2} \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=\]

    \[=-\frac{3}{2}\cdot \left( \cos \frac{\pi }{2}-\cos 0 \right)=-\frac{3}{2}\cdot \left( 0-1 \right)=\frac{3}{2}=1,5\]

Ответ l=1,5

В полярной системе координат

Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах \rho =\rho \left( \phi  \right), \phi \in \left[ \alpha ;\ \beta  \right]. Предположим, что функция \rho \left( \phi  \right) и ее производная {\rho }'\left( \phi  \right) непрерывны на отрезке \left[ \alpha ;\ \beta  \right]. Тогда длина дуги кривой вычисляется по формуле:

    \[ l=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{\sqrt{{{\rho }^{2}}\left( \phi  \right)+{{{{\rho }'}}^{2}}\left( \phi  \right)}d\phi }\]

ПРИМЕР 3
Задание Найти длину дуги кардиоиды \rho =a\left( 1+\cos \phi  \right)
Решение Найдем выражение:

    \[ \sqrt{{{\rho }^{2}}\left( \phi  \right)+{{{{\rho }'}}^{2}}\left( \phi  \right)} \]

    \[{\rho }'\left( \phi  \right)={{\left( a\left( 1+\cos \phi  \right) \right)}^{\prime }}=-a\sin \phi \]

Отсюда

    \[\sqrt{{{\rho }^{2}}\left( \phi  \right)+{{{{\rho }'}}^{2}}\left( \phi  \right)}=\sqrt{{{\left( a\left( 1+\cos \phi  \right) \right)}^{2}}+{{\left( -a\sin \phi  \right)}^{2}}}=a\sqrt{1+2\cos \phi +{{\cos }^{2}}\phi +{{\sin }^{2}}\phi }=\]

    \[=a\sqrt{2+2\cos \phi }=a\sqrt{2}\sqrt{1+\cos \phi }=a\sqrt{2}\sqrt{{{\sin }^{2}}\frac{\phi }{2}+{{\cos }^{2}}\frac{\phi }{2}+{{\cos }^{2}}\frac{\phi }{2}-{{\sin }^{2}}\frac{\phi }{2}}=\]

    \[=a\sqrt{2}\sqrt{2{{\cos }^{2}}\frac{\phi }{2}}=2a\left| \cos \frac{\phi }{2} \right|\]

Тогда искомая длина

    \[l=\int\limits_{0}^{2\pi }{2a\left| \cos \frac{\phi }{2} \right|d\phi }=2a\int\limits_{0}^{2\pi }{\left| \cos \frac{\phi }{2} \right|d\phi }=2a\left( \int\limits_{0}^{\pi }{\left| \cos \frac{\phi }{2} \right|d\phi }+\int\limits_{\pi }^{2\pi }{\left| \cos \frac{\phi }{2} \right|d\phi } \right)=\]

    \[=2a\left( \int\limits_{0}^{\pi }{\cos \frac{\phi }{2}d\phi }-\int\limits_{\pi }^{2\pi }{\cos \frac{\phi }{2}d\phi } \right)=2a\left( 2\left. \sin \frac{\phi }{2} \right|_{0}^{\pi }-2\left. \sin \frac{\phi }{2} \right|_{2\pi }^{2\pi } \right)=\]

    \[=4a\left( \sin \frac{\pi }{2}-0-\left( \sin \pi -\sin \frac{\pi }{2} \right) \right)=4a\cdot \left( 1+1 \right)=8a\]

Ответ l=8a