Тригонометрические формулы
Тригонометрия в буквальном переводе означает измерение треугольников. Но это надо понимать как решение треугольников, то есть определения их сторон, углов или других элементов. Возникновение тригонометрии связано с землеизмерением, астрономией и строительством.
Основные тригонометрические формулы
Основное тригонометрическое тождество
Эти тождества используются для преобразования тригонометрических выражений; позволяют по значению одной из тригонометрических функций найти значения всех остальных.
Задание | Найти ![]() |
Решение | Используя тригонометрическую формулу ![]() |
Ответ | ![]() |
Знаки тригонометрических функций


Отсюда можем сделать вывод, что значения синусов углов лежащих в первой и второй четверти положительны (так как ординаты точек в этих четвертях больше нуля), а лежащих в третьей и четвёртой четверти – отрицательны.




Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент.

Задание | В какой четверти лежит угол ![]() |
Решение | Синус некоторого угла положителен, если угол находится в первой или второй координатных четвертях, а косинус отрицательный в во второй и третьей четвертях. То есть одновременно синус положительный, а косинус отрицательный, если угол ![]() ![]() |
Ответ | ![]() |
Формулы, выражающие тригонометрические функции через другие тригонометрические функции
Данные формулы позволяют находить одну тригонометрическую функцию угла если известная какая-нибудь иная функция этого угла. Используются при упрощениях и вычислениях:
Задание | Найти ![]() ![]() |
Решение | Так как ![]() ![]() Для нахождения синуса используем формулу Оставляем только знак «+», так как угол лежит в первой четверти: Косинус найдем из формулы |
Ответ | ![]() |
Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента
Эти формулы находят свое широкое применение в интегральном исчислении.
Задание | Зная что ![]() ![]() |
Решение | Используем формулу
Будем иметь: |
Ответ | ![]() |
Формулы двойных и тройных аргументов
Данные формулы довольно легко получить при помощи формул сложения аргументов тригонометрических функций, заменой на
Используются при тригонометрических упрощениях и преобразованиях.
Синус двойного угла:
Косинус двойного угла:
Задание | Упростить выражение ![]() |
Решение | Вначале упростим выражение ![]() Сумма Итак, |
Ответ | ![]() |
Формулы половинного аргумента
Названные формулы выражают функции половинного аргумента через тригонометрические функции аргумента
При меняются в тригонометрических преобразованиях.
Задание | Найти ![]() ![]() ![]() |
Решение | Для нахождения нужного значения воспользуемся формулой
Так как А отсюда имеем, что |
Ответ | ![]() |
Формулы сложения и вычитания аргументов
Тригонометрические формулы сложения и вычитания углов представляют собой тригонометрические уравнения, в которых в качестве аргумента тригонометрической функции выступает сумма или разность двух углов и
Данные формулы позволяют по известным тригонометрическим функциям аргументов
и
определять значения этих функций для сумм или разностей указанных аргументов.
Задание | Найти значение выражения ![]() |
Решение | Применим формулу «синус суммы» справа налево, то есть в виде
Тогда будем иметь, что |
Ответ | ![]() |
Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение
Сумма (и разность) тригонометрических функций преобразуется в произведение функций от других аргументов по следующим формулам, которые выводятся из теорем сложения, а также определений тангенса и котангенса:
Формулы для разложения тригонометрических выражений на множители.
Задание | Разложить на множители ![]() |
Решение | Применим формулу «сумма синусов»:
Тогда |
Ответ | ![]() |
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму
Эти формулы получаются из сложения/вычитания соответствующих формул сложения и вычитания аргументов и дальнейшего упрощения:
Используются при тригонометрических преобразованиях.
Задание | Преобразовать в сумму произведение ![]() |
Решение | Используем формулу
|
Ответ | ![]() |
Формулы понижения степени тригонометрических функций
Данные формулы используются при различных тригонометрических преобразованиях:
Задание | Найти значение выражения ![]() |
Решение | Согласно формуле
|
Ответ | ![]() |
Другие формулы
