Тригонометрические формулы

Тригонометрия в буквальном переводе означает измерение треугольников. Но это надо понимать как решение треугольников, то есть определения их сторон, углов или других элементов. Возникновение тригонометрии связано с землеизмерением, астрономией и строительством.

Основные тригонометрические формулы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Тригонометрическим тождеством называется равенство, в которое входят тригонометрические функции и которое удовлетворяет произвольным допустимым значениям угла. Между тригонометрическими функциями одного и того же произвольного аргумента существуют следующие соотношения:

Основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

$\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \text{ }\text{ }, \text{ }\text{ }\text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \text{ }\text{ }, \text{ }\text{ }\text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1$

$\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} \text{ }\text{ }, \text{ }\text{ }\text{cosec } \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}$

$1+\text{tg }^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \text{ }\text{ }, \text{ }\text{ }1+\text{ctg }^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

Эти тождества используются для преобразования тригонометрических выражений; позволяют по значению одной из тригонометрических функций найти значения всех остальных.

ПРИМЕР

Задание	Найти $\text{tg } \alpha ,$ если известно, что $\sin \alpha = \frac{1}{3} \text{ }, \text{ } \cos \alpha = -\frac{2 \sqrt{2}}{3}$
Решение	Используя тригонометрическую формулу $\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } ,$ получаем, что искомое значение $\text{tg}\alpha =\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$
Ответ

Знаки тригонометрических функций

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Синус угла $\alpha$ – это ордината (то есть координата y) точки на единичной тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на указанный угол $\alpha$ :

$\sin \alpha = y$

Отсюда можем сделать вывод, что значения синусов углов лежащих в первой и второй четверти положительны (так как ординаты точек в этих четвертях больше нуля), а лежащих в третьей и четвёртой четверти – отрицательны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Косинус угла $\alpha$ – это абсцисса – координата x – точки на единичной окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол $\alpha$ :

$\cos \alpha = x$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Тангенс угла $\alpha$ – это отношение синуса к косинусу:

$\text{tg } \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{y}{x}$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Котангенс угла $\alpha$ – это отношение косинуса к синусу:

$\text{ctg } \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{x}{y}$

Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент.

ПРИМЕР

Задание	В какой четверти лежит угол $\alpha ,$ если известно, что его синус положителен, а косинус – отрицателен?
Решение	Синус некоторого угла положителен, если угол находится в первой или второй координатных четвертях, а косинус отрицательный в во второй и третьей четвертях. То есть одновременно синус положительный, а косинус отрицательный, если угол $\alpha$ лежит во второй четверти, то есть если $\alpha \in \left( \frac{\pi }{2};\ \pi \right) .$
Ответ	$\alpha \in \left( \frac{\pi }{2};\ \pi \right)$ – угол второй четверти.

Формулы, выражающие тригонометрические функции
через другие тригонометрические функции

Данные формулы позволяют находить одну тригонометрическую функцию угла $\alpha ,$ если известная какая-нибудь иная функция этого угла. Используются при упрощениях и вычислениях:

$\sin \alpha =\mp \sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }=\mp \frac{\text{tg }\alpha }{\sqrt{1+\text{tg}^{2}}\alpha }=\mp \frac{1}{\sqrt{1+\text{ctg}^{2}}\alpha }$

$\cos \alpha =\mp \sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }=\mp \frac{1}{\sqrt{1+\text{tg}^{2}}\alpha }=\mp \frac{\text{ctg }\alpha \text{ }}{\sqrt{1+\text{ctg}^{2}}\alpha }$

$\text{tg }\alpha =\mp \frac{\sin \alpha }{\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }}=\mp \frac{\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }}{\cos \alpha }=\frac{1}{\text{ctg }\alpha }$

$\text{ctg }\alpha =\mp \frac{\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }}{\sin \alpha }=\mp \frac{\cos \alpha }{\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }}=\frac{1}{\text{tg }\alpha }$

ПРИМЕР

Задание

Найти $\sin \alpha$ и $\cos \alpha ,$ если известно, что

$\text{tg } \alpha =\frac{3}{4} \text{ },\text{ } 0<\alpha <\frac{\pi }{2}$

Решение

Так как $0<\alpha <\frac{\pi }{2} ,$ то это означает, что угол $\alpha$ является углом первой четверти, в которой и синус, и косинус положительны.

Для нахождения синуса используем формулу

$\sin \alpha =\pm \frac{\text{tg }\alpha }{\sqrt{1+{\text{tg }^{2}}\alpha }}$

Оставляем только знак «+», так как угол лежит в первой четверти:

$\sin \alpha =\frac{\text{tg }\alpha }{\sqrt{1+{{\text{tg }}^{2}}\alpha }}=\frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{1+{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2}}}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}}=\frac{3}{5}$

Косинус найдем из формулы $\cos \alpha =\pm \sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }$ (т.к. косинус положителен, то оставляем только знак «+»). Тогда имеем:

$\cos \alpha =\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }=\sqrt{1-{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{2}}}=\frac{4}{5}$

Ответ

$\sin \alpha =\frac{3}{5} , \cos \alpha =\frac{4}{5}$

Формулы, выражающие тригонометрические функции
через тангенс половинного аргумента

Эти формулы находят свое широкое применение в интегральном исчислении.

$\sin \alpha =\frac{2\text{tg }\frac{\alpha }{2}}{1+\text{tg}^{2} \frac{\alpha }{2}} \qquad \text{tg }\alpha =\frac{2\text{tg }\frac{\alpha }{2}}{1-\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}$

$\cos \alpha =\frac{1-\text{tg}^{2} \frac{\alpha }{2}}{1+\text{tg}^{2} \frac{\alpha }{2}} \qquad \text{ctg }\alpha =\frac{1-\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}{2\text{tg }\frac{\alpha }{2}}$

ПРИМЕР

Задание

Зная что $\text{tg}\,\frac{\alpha }{2}=1 ,$ найти $\cos \alpha$

Решение

Используем формулу

$\cos \alpha =\frac{1-\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}{1+\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}$

Будем иметь:

$\cos \alpha =\frac{1-{{1}^{2}}}{1+{{\text{1}}^{2}}}=0$

Ответ

$\cos \alpha =0$

Формулы двойных и тройных аргументов

Данные формулы довольно легко получить при помощи формул сложения аргументов тригонометрических функций, заменой $\beta$ на $\alpha .$ Используются при тригонометрических упрощениях и преобразованиях.

Синус двойного угла: $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

Косинус двойного угла: $\cos 2\alpha ={{\cos }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha =2{{\cos }^{2}}\alpha -1=1-2{{\sin }^{2}}\alpha$

$\text{tg }2\alpha =\frac{2\text{tg }\alpha }{1-\text{tg}^{2}\alpha } \qquad \text{tg}^{2}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }$

$\text{ctg }2\alpha =\frac{\text{ctg}^{2} \alpha -1}{2\text{ctg }\alpha }$

$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{{\sin }^{3}}\alpha \qquad \cos 3\alpha =4{{\cos }^{3}}\alpha -3\cos \alpha$

$\text{tg }3\alpha =\frac{3\text{tg }\alpha -\text{tg}^{3}\alpha }{1-3\text{tg}^{2}\alpha } \qquad \text{ctg }3\alpha =\frac{3\text{ctg }\alpha -\text{ctg}^{3}\alpha }{1-3\text{ctg}^{2}\alpha }$

ПРИМЕР

Задание

Упростить выражение $A={{\left( \sin \alpha +\cos \alpha \right)}^{2}}-\sin 2\alpha$

Решение

Вначале упростим выражение ${{\left( \sin \alpha +\cos \alpha \right)}^{2}} ,$ которое представляет собой квадрат суммы. Раскроем это выражение по формуле:

${{\left( \sin \alpha +\cos \alpha \right)}^{2}}={{\sin }^{2}}\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +{{\cos }^{2}}\alpha ={{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha$

Сумма ${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha$ по основному тригонометрическому тождеству равна 1, а последнее слагаемое сворачиваем по формуле «синус двойного угла». Тогда будем иметь:

${{\left( \sin \alpha +\cos \alpha \right)}^{2}}=1+\sin 2\alpha$

Итак,

$A={{\left( \sin \alpha +\cos \alpha \right)}^{2}}-\sin 2\alpha =1+\sin 2\alpha -\sin 2\alpha =1$

Ответ

$A=1$

Формулы половинного аргумента

Названные формулы выражают функции половинного аргумента $\frac{\alpha }{2}$ через тригонометрические функции аргумента $\alpha .$ При меняются в тригонометрических преобразованиях.

$\sin \frac{\alpha }{2}=\mp \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$

$\cos \frac{\alpha }{2}=\mp \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$

$\text{tg }\frac{\alpha }{2}=\mp \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }$

$\text{ctg }\frac{\alpha }{2}=\mp \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}=\frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha }$

ПРИМЕР

Задание

Найти $\text{tg}\frac{\alpha }{2} ,$ если известно, что $\sin \alpha =\frac{1}{2}$ и $\alpha$ – угол первой четверти.

Решение

Для нахождения нужного значения воспользуемся формулой

$\text{tg }\frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }$

Найдем косинус угла. Из основного тригонометрического тождества получаем, что

$\cos \alpha =\pm \sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }$

Так как $\alpha$ – угол первой четверти, то в этой четверти косинус положительный и тогда

$\cos \alpha =\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }=\sqrt{1-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

А отсюда имеем, что

$\text{tg }\frac{\alpha }{2}=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$

Ответ

Формулы сложения и вычитания аргументов

Тригонометрические формулы сложения и вычитания углов представляют собой тригонометрические уравнения, в которых в качестве аргумента тригонометрической функции выступает сумма или разность двух углов $\alpha$ и $\beta .$ Данные формулы позволяют по известным тригонометрическим функциям аргументов $\alpha$ и $\beta$ определять значения этих функций для сумм или разностей указанных аргументов.

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

$\text{tg }(\alpha +\beta )=\frac{\text{tg }\alpha +\text{tg }\beta }{1-\text{tg }\alpha \text{tg }\beta }$

$\text{tg }(\alpha -\beta )=\frac{\text{tg }\alpha -\text{tg }\beta }{1+\text{tg }\alpha \text{tg }\beta }$

$\text{ctg }(\alpha +\beta )=\frac{\text{ctg }\alpha \text{ctg }\beta -1}{\text{ctg }\alpha +\text{ctg }\beta }$

$\text{ctg }(\alpha -\beta )=\frac{\text{ctg }\alpha \text{ctg }\beta +1}{\text{ctg }\alpha -\text{ctg }\beta }$

ПРИМЕР

Задание

Найти значение выражения $\sin {{37}^{\circ }}\cos {{23}^{\circ }}+\cos {{37}^{\circ }}\sin {{23}^{\circ }}$

Решение

Применим формулу «синус суммы» справа налево, то есть в виде

$\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\sin (\alpha +\beta )$

Тогда будем иметь, что

$\sin {{37}^{\circ }}\cos {{23}^{\circ }}+\cos {{37}^{\circ }}\sin {{23}^{\circ }}=\sin \left( {{37}^{\circ }}+{{23}^{\circ }} \right)=\sin {{60}^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

Сумма (и разность) тригонометрических функций преобразуется в произведение функций от других аргументов по следующим формулам, которые выводятся из теорем сложения, а также определений тангенса и котангенса:

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

$\sin \alpha -\sin \beta =2\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2}$

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$

$\text{tg }\alpha +\text{tg }\beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }$

$\text{tg }\alpha -\text{tg }\beta =\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }$

$\text{ctg }\alpha +\text{ctg }\beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\sin \alpha \sin \beta }$

$\text{ctg }\alpha -\text{ctg }\beta =-\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\sin \alpha \sin \beta }=\frac{\sin (\beta -\alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }$

$\text{tg }\alpha +\text{ctg }\alpha =\frac{2}{\sin 2\alpha }$

$\text{tg }\alpha +\text{ctg }\alpha =-2\text{ctg }2\alpha$

$\text{tg }\alpha +\text{ctg }\beta =\frac{\cos (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \sin \beta }$

$\text{tg }\alpha -\text{ctg }\beta =-\frac{\cos (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \sin \beta }$

$\sin \alpha +\sin 3\alpha + \ldots +\sin (2n-1)\alpha =\sin n \alpha , n\in Z$

$\cos \alpha +\cos 3\alpha + \ldots +\cos (2n-1)\alpha =\cos n\alpha , n\in Z$

Формулы для разложения тригонометрических выражений на множители.

ПРИМЕР

Задание

Разложить на множители $\sin 2\alpha +\sin \alpha$

Решение

Применим формулу «сумма синусов»:

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

Тогда

$\sin 2\alpha +\sin \alpha =2\sin \frac{2\alpha +\alpha }{2}\cos \frac{2\alpha -\alpha }{2}=2\sin \frac{3\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}$

Ответ

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

Эти формулы получаются из сложения/вычитания соответствующих формул сложения и вычитания аргументов и дальнейшего упрощения:

$\sin \alpha \sin \beta =\frac{\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )}{2}$

$\sin \alpha \cos \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )}{2}$

$\cos \alpha \cos \beta =\frac{\cos (\alpha -\beta )+\cos (\alpha +\beta )}{2}$

Используются при тригонометрических преобразованиях.

ПРИМЕР

Задание

Преобразовать в сумму произведение $\sin {{43}^{\circ }}\cos {{17}^{\circ }}$

Решение

Используем формулу

$\sin \alpha \cos \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )}{2}$

Тогда будем иметь:

$\sin {{43}^{\circ }}\cos {{17}^{\circ }}=\frac{\sin \left( {{43}^{\circ }}+{{17}^{\circ }} \right)+\sin \left( {{43}^{\circ }}-{{17}^{\circ }} \right)}{2}=\frac{\sin {{60}^{\circ }}+\sin {{26}^{\circ }}}{2}=$

$=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+\sin {{26}^{\circ }}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sin {{26}^{\circ }}}{2}$

Ответ

Формулы понижения степени тригонометрических функций

Данные формулы используются при различных тригонометрических преобразованиях:

${{\sin }^{2}}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$

${{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{2}$

${{\sin }^{3}}\alpha =\frac{3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4}$

${{\cos }^{2}}\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$

${{\cos }^{2}}\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{2}$

${{\cos }^{3}}\alpha =\frac{3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4}$

ПРИМЕР

Задание

Найти значение выражения ${{\sin }^{2}}{{15}^{\circ }}$

Решение

Согласно формуле

${{\sin }^{2}}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$

имеем, что

${{\sin }^{2}}{{15}^{\circ }}=\frac{1-\cos \left( 2\cdot {{15}^{\circ }} \right)}{2}=\frac{1-\cos {{30}^{\circ }}}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}$

Ответ

Другие формулы

$\cos \alpha +\sin \alpha =\sqrt{2}\cos ({{45}^{\text{o}}}-\alpha ) \qquad \cos \alpha -\sin \alpha =\sqrt{2}\sin ({{45}^{\text{o}}}-\alpha )$

$1+\sin \alpha =2{{\cos }^{2}}\left( {{45}^{\text{o}}}-\frac{\alpha }{2} \right) \qquad 1-\sin \alpha =2{{\sin }^{2}}\left( {{45}^{\text{o}}}-\frac{\alpha }{2} \right)$

$1+\cos \alpha =2{{\cos }^{2}}\frac{\alpha }{2} \qquad 1-\cos \alpha =2{{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{2}$

$1+\text{tg }\alpha =\frac{\sqrt{2}\sin ({{45}^{\text{o}}}+\alpha )}{\cos \alpha } \qquad 1-\text{tg }\alpha =\frac{\sqrt{2}\sin ({{45}^{\text{o}}}-\alpha )}{\cos \alpha }$

$1-\text{tg }^{2}\alpha =\frac{\cos 2\alpha }{{\cos }^{2}\alpha } \qquad 1-\text{ctg }^{2}\alpha =-\frac{\cos 2\alpha }{{{\sin }^{2}}\alpha }$

$1+\text{tg }\alpha \text{tg }\beta =\frac{\cos (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \cos \beta } \qquad 1-\text{tg }\alpha \text{tg }\beta =\frac{\cos (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }$

$\text{ctg }\alpha \text{ctg }\beta +1=\frac{\cos (\alpha -\beta )}{\sin \alpha \sin \beta } \qquad \text{ctg }\alpha \text{ctg }\beta -1=\frac{\cos (\alpha +\beta )}{\sin \alpha \sin \beta }$

$\text{tg }^{2}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha =\text{tg }^{2}\alpha \cdot {{\sin }^{2}}\alpha \qquad \text{ctg }^{2}\alpha -{{\cos }^{2}}\alpha =\text{ctg }^{2}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha$

$\text{tg }^{2}\alpha -\text{tg }^{2}\beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )\sin (\alpha -\beta )}{{{\cos }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\beta } \qquad \text{ctg }^{2}\alpha -\text{ctg }^{2}\beta =-\frac{\sin (\alpha +\beta )\sin (\alpha -\beta )}{{{\sin }^{2}}\alpha {{\sin }^{2}}\beta }$

$\text{ctg }^{2}\alpha -\text{tg }^{2}\beta =\frac{\cos (\alpha +\beta )\cos (\alpha -\beta )}{{{\sin }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\beta }$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Тригонометрические формулы

Основные тригонометрические формулы

Знаки тригонометрических функций

Формулы, выражающие тригонометрические функции через другие тригонометрические функции

Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента

Формулы двойных и тройных аргументов

Формулы половинного аргумента

Формулы сложения и вычитания аргументов

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

Формулы понижения степени тригонометрических функций

Другие формулы

Формулы, выражающие тригонометрические функции
через другие тригонометрические функции

Формулы, выражающие тригонометрические функции
через тангенс половинного аргумента