Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Тригонометрические формулы

Тригонометрия в буквальном переводе означает измерение треугольников. Но это надо понимать как решение треугольников, то есть определения их сторон, углов или других элементов. Возникновение тригонометрии связано с землеизмерением, астрономией и строительством.

Основные тригонометрические формулы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тригонометрическим тождеством называется равенство, в которое входят тригонометрические функции и которое удовлетворяет произвольным допустимым значениям угла. Между тригонометрическими функциями одного и того же произвольного аргумента существуют следующие соотношения:

Основное тригонометрическое тождество \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

    \[ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \text{ }\text{ }, \text{ }\text{ }\text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \text{ }\text{ }, \text{ }\text{ }\text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1 	\]

    \[ \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} \text{ }\text{ }, \text{ }\text{ }\text{cosec } \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} 	\]

    \[ 1+\text{tg }^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \text{ }\text{ }, \text{ }\text{ }1+\text{ctg }^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} 	\]

Эти тождества используются для преобразования тригонометрических выражений; позволяют по значению одной из тригонометрических функций найти значения всех остальных.

ПРИМЕР
Задание Найти \text{tg } \alpha , если известно, что

    \[           \sin \alpha = \frac{1}{3} \text{ }, \text{ } \cos \alpha = -\frac{2 \sqrt{2}}{3} 	\]

Решение Используя тригонометрическую формулу \text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } , получаем, что искомое значение

    \[\text{tg}\alpha =\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}\]

Ответ

Знаки тригонометрических функций

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Синус угла \alpha – это ордината (то есть координата y) точки на единичной тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на указанный угол \alpha:

    \[ 	\sin \alpha = y 	\]

Отсюда можем сделать вывод, что значения синусов углов лежащих в первой и второй четверти положительны (так как ординаты точек в этих четвертях больше нуля), а лежащих в третьей и четвёртой четверти – отрицательны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Косинус угла \alpha – это абсцисса – координата x – точки на единичной окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол \alpha:

    \[ 	\cos \alpha = x 	\]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тангенс угла \alpha – это отношение синуса к косинусу:

    \[\text{tg } \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{y}{x}\]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Котангенс угла \alpha – это отношение косинуса к синусу:

    \[\text{ctg } \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{x}{y}\]

Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент.

ПРИМЕР
Задание В какой четверти лежит угол \alpha , если известно, что его синус положителен, а косинус – отрицателен?
Решение Синус некоторого угла положителен, если угол находится в первой или второй координатных четвертях, а косинус отрицательный в во второй и третьей четвертях. То есть одновременно синус положительный, а косинус отрицательный, если угол \alpha лежит во второй четверти, то есть если \alpha \in \left( \frac{\pi }{2};\ \pi  \right) .
Ответ \alpha \in \left( \frac{\pi }{2};\ \pi  \right) – угол второй четверти.

Формулы, выражающие тригонометрические функции
через другие тригонометрические функции

Данные формулы позволяют находить одну тригонометрическую функцию угла \alpha , если известная какая-нибудь иная функция этого угла. Используются при упрощениях и вычислениях:

    \[\sin \alpha =\mp \sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }=\mp \frac{\text{tg }\alpha }{\sqrt{1+\text{tg}^{2}}\alpha }=\mp \frac{1}{\sqrt{1+\text{ctg}^{2}}\alpha }\]

    \[\cos \alpha =\mp \sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }=\mp \frac{1}{\sqrt{1+\text{tg}^{2}}\alpha }=\mp \frac{\text{ctg }\alpha \text{ }}{\sqrt{1+\text{ctg}^{2}}\alpha }\]

    \[\text{tg }\alpha =\mp \frac{\sin \alpha }{\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }}=\mp \frac{\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }}{\cos \alpha }=\frac{1}{\text{ctg }\alpha }\]

    \[\text{ctg }\alpha =\mp \frac{\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }}{\sin \alpha }=\mp \frac{\cos \alpha }{\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }}=\frac{1}{\text{tg }\alpha }\]

ПРИМЕР
Задание Найти \sin \alpha и \cos \alpha , если известно, что

    \[ 	\text{tg } \alpha =\frac{3}{4} \text{ },\text{ } 0<\alpha <\frac{\pi }{2} 	\]

Решение Так как 0<\alpha <\frac{\pi }{2} , то это означает, что угол \alpha является углом первой четверти, в которой и синус, и косинус положительны.

Для нахождения синуса используем формулу

    \[ \sin \alpha =\pm \frac{\text{tg }\alpha }{\sqrt{1+{\text{tg }^{2}}\alpha }} \]

Оставляем только знак «+», так как угол лежит в первой четверти:

    \[ 					\sin \alpha =\frac{\text{tg }\alpha }{\sqrt{1+{{\text{tg }}^{2}}\alpha }}=\frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{1+{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2}}}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}}=\frac{3}{5} 					\]

Косинус найдем из формулы \cos \alpha =\pm \sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha } (т.к. косинус положителен, то оставляем только знак «+»). Тогда имеем:

    \[\cos \alpha =\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }=\sqrt{1-{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{2}}}=\frac{4}{5}\]

Ответ \sin \alpha =\frac{3}{5} , \cos \alpha =\frac{4}{5}

Формулы, выражающие тригонометрические функции
через тангенс половинного аргумента

Эти формулы находят свое широкое применение в интегральном исчислении.

    \[\sin \alpha =\frac{2\text{tg }\frac{\alpha }{2}}{1+\text{tg}^{2} \frac{\alpha }{2}} \qquad \text{tg }\alpha =\frac{2\text{tg }\frac{\alpha }{2}}{1-\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}\]

    \[\cos \alpha =\frac{1-\text{tg}^{2} \frac{\alpha }{2}}{1+\text{tg}^{2} \frac{\alpha }{2}} \qquad \text{ctg }\alpha =\frac{1-\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}{2\text{tg }\frac{\alpha }{2}}\]

ПРИМЕР
Задание Зная что \text{tg}\,\frac{\alpha }{2}=1 , найти \cos \alpha
Решение Используем формулу

    \[       \cos \alpha =\frac{1-\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}{1+\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}} \]

Будем иметь:

    \[\cos \alpha =\frac{1-{{1}^{2}}}{1+{{\text{1}}^{2}}}=0\]

Ответ \cos \alpha =0

Формулы двойных и тройных аргументов

Данные формулы довольно легко получить при помощи формул сложения аргументов тригонометрических функций, заменой \beta на \alpha . Используются при тригонометрических упрощениях и преобразованиях.

Синус двойного угла: \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha

Косинус двойного угла: \cos 2\alpha ={{\cos }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha =2{{\cos }^{2}}\alpha -1=1-2{{\sin }^{2}}\alpha

    \[\text{tg }2\alpha =\frac{2\text{tg }\alpha }{1-\text{tg}^{2}\alpha } \qquad \text{tg}^{2}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }\]

    \[\text{ctg }2\alpha =\frac{\text{ctg}^{2} \alpha -1}{2\text{ctg }\alpha } \]

    \[ \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{{\sin }^{3}}\alpha \qquad \cos 3\alpha =4{{\cos }^{3}}\alpha -3\cos \alpha \]

    \[ \text{tg }3\alpha =\frac{3\text{tg }\alpha -\text{tg}^{3}\alpha }{1-3\text{tg}^{2}\alpha } \qquad \text{ctg }3\alpha =\frac{3\text{ctg }\alpha -\text{ctg}^{3}\alpha }{1-3\text{ctg}^{2}\alpha }\]

ПРИМЕР
Задание Упростить выражение A={{\left( \sin \alpha +\cos \alpha  \right)}^{2}}-\sin 2\alpha
Решение Вначале упростим выражение {{\left( \sin \alpha +\cos \alpha  \right)}^{2}} , которое представляет собой квадрат суммы. Раскроем это выражение по формуле:

    \[{{\left( \sin \alpha +\cos \alpha  \right)}^{2}}={{\sin }^{2}}\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +{{\cos }^{2}}\alpha ={{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha \]

Сумма {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha по основному тригонометрическому тождеству равна 1, а последнее слагаемое сворачиваем по формуле «синус двойного угла». Тогда будем иметь:

    \[{{\left( \sin \alpha +\cos \alpha  \right)}^{2}}=1+\sin 2\alpha \]

Итак,

    \[A={{\left( \sin \alpha +\cos \alpha  \right)}^{2}}-\sin 2\alpha =1+\sin 2\alpha -\sin 2\alpha =1\]

Ответ A=1

Формулы половинного аргумента

Названные формулы выражают функции половинного аргумента \frac{\alpha }{2} через тригонометрические функции аргумента \alpha . При меняются в тригонометрических преобразованиях.

    \[\sin \frac{\alpha }{2}=\mp \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}\]

    \[\cos \frac{\alpha }{2}=\mp \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}\]

    \[\text{tg }\frac{\alpha }{2}=\mp \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }\]

    \[\text{ctg }\frac{\alpha }{2}=\mp \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}=\frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha }\]

ПРИМЕР
Задание Найти \text{tg}\frac{\alpha }{2} , если известно, что \sin \alpha =\frac{1}{2} и \alpha – угол первой четверти.
Решение Для нахождения нужного значения воспользуемся формулой

    \[ \text{tg }\frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha } \]

Найдем косинус угла. Из основного тригонометрического тождества получаем, что

    \[\cos \alpha =\pm \sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }\]

Так как \alpha – угол первой четверти, то в этой четверти косинус положительный и тогда

    \[\cos \alpha =\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }=\sqrt{1-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

А отсюда имеем, что

    \[\text{tg }\frac{\alpha }{2}=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\]

Ответ

Формулы сложения и вычитания аргументов

Тригонометрические формулы сложения и вычитания углов представляют собой тригонометрические уравнения, в которых в качестве аргумента тригонометрической функции выступает сумма или разность двух углов \alpha и \beta . Данные формулы позволяют по известным тригонометрическим функциям аргументов \alpha и \beta определять значения этих функций для сумм или разностей указанных аргументов.

    \[ \sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta   \]

    \[   \sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta   \]

    \[   \cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta   \]

    \[   \cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta   \]

    \[ \text{tg }(\alpha +\beta )=\frac{\text{tg }\alpha +\text{tg }\beta }{1-\text{tg }\alpha \text{tg }\beta } \]

    \[ \text{tg }(\alpha -\beta )=\frac{\text{tg }\alpha -\text{tg }\beta }{1+\text{tg }\alpha \text{tg }\beta }  \]

    \[  \text{ctg }(\alpha +\beta )=\frac{\text{ctg }\alpha \text{ctg }\beta -1}{\text{ctg }\alpha +\text{ctg }\beta } \]

    \[ \text{ctg }(\alpha -\beta )=\frac{\text{ctg }\alpha \text{ctg }\beta +1}{\text{ctg }\alpha -\text{ctg }\beta }  \]

ПРИМЕР
Задание Найти значение выражения \sin {{37}^{\circ }}\cos {{23}^{\circ }}+\cos {{37}^{\circ }}\sin {{23}^{\circ }}
Решение Применим формулу «синус суммы» справа налево, то есть в виде

    \[\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\sin (\alpha +\beta )\]

Тогда будем иметь, что

    \[\sin {{37}^{\circ }}\cos {{23}^{\circ }}+\cos {{37}^{\circ }}\sin {{23}^{\circ }}=\sin \left( {{37}^{\circ }}+{{23}^{\circ }} \right)=\sin {{60}^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Ответ

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

Сумма (и разность) тригонометрических функций преобразуется в произведение функций от других аргументов по следующим формулам, которые выводятся из теорем сложения, а также определений тангенса и котангенса:

    \[\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2} \]

    \[\sin \alpha -\sin \beta =2\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2} \]

    \[\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2} \]

    \[\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\]

    \[\text{tg }\alpha +\text{tg }\beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta } \]

    \[ \text{tg }\alpha -\text{tg }\beta =\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }\]

    \[ \text{ctg }\alpha +\text{ctg }\beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\sin \alpha \sin \beta }  \]

    \[   \text{ctg }\alpha -\text{ctg }\beta =-\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\sin \alpha \sin \beta }=\frac{\sin (\beta -\alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }  \]

    \[\text{tg }\alpha +\text{ctg }\alpha =\frac{2}{\sin 2\alpha }\]

    \[\text{tg }\alpha +\text{ctg }\alpha =-2\text{ctg }2\alpha \]

    \[\text{tg }\alpha +\text{ctg }\beta =\frac{\cos (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \sin \beta }\]

    \[\text{tg }\alpha -\text{ctg }\beta =-\frac{\cos (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \sin \beta }\]

    \[\sin \alpha +\sin 3\alpha + \ldots +\sin (2n-1)\alpha =\sin n \alpha , n\in Z\]

    \[\cos \alpha +\cos 3\alpha + \ldots +\cos (2n-1)\alpha =\cos n\alpha , n\in Z\]

Формулы для разложения тригонометрических выражений на множители.

ПРИМЕР
Задание Разложить на множители \sin 2\alpha +\sin \alpha
Решение Применим формулу «сумма синусов»:

    \[\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\]

Тогда

    \[\sin 2\alpha +\sin \alpha =2\sin \frac{2\alpha +\alpha }{2}\cos \frac{2\alpha -\alpha }{2}=2\sin \frac{3\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}\]

Ответ

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

Эти формулы получаются из сложения/вычитания соответствующих формул сложения и вычитания аргументов и дальнейшего упрощения:

    \[\sin \alpha \sin \beta =\frac{\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )}{2}\]

    \[\sin \alpha \cos \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )}{2}\]

    \[\cos \alpha \cos \beta =\frac{\cos (\alpha -\beta )+\cos (\alpha +\beta )}{2}\]

Используются при тригонометрических преобразованиях.

ПРИМЕР
Задание Преобразовать в сумму произведение \sin {{43}^{\circ }}\cos {{17}^{\circ }}
Решение Используем формулу

    \[ \sin \alpha \cos \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )}{2} \]

Тогда будем иметь:

    \[\sin {{43}^{\circ }}\cos {{17}^{\circ }}=\frac{\sin \left( {{43}^{\circ }}+{{17}^{\circ }} \right)+\sin \left( {{43}^{\circ }}-{{17}^{\circ }} \right)}{2}=\frac{\sin {{60}^{\circ }}+\sin {{26}^{\circ }}}{2}=\]

    \[=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+\sin {{26}^{\circ }}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sin {{26}^{\circ }}}{2}\]

Ответ

Формулы понижения степени тригонометрических функций

Данные формулы используются при различных тригонометрических преобразованиях:

    \[{{\sin }^{2}}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2} \]

    \[{{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{2} \]

    \[{{\sin }^{3}}\alpha =\frac{3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4} \]

    \[{{\cos }^{2}}\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2} \]

    \[{{\cos }^{2}}\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{2}  \]

    \[{{\cos }^{3}}\alpha =\frac{3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4}\]

ПРИМЕР
Задание Найти значение выражения {{\sin }^{2}}{{15}^{\circ }}
Решение Согласно формуле

    \[ {{\sin }^{2}}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2} \]

имеем, что

    \[{{\sin }^{2}}{{15}^{\circ }}=\frac{1-\cos \left( 2\cdot {{15}^{\circ }} \right)}{2}=\frac{1-\cos {{30}^{\circ }}}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\]

Ответ

Другие формулы

    \[ \cos \alpha +\sin \alpha =\sqrt{2}\cos ({{45}^{\text{o}}}-\alpha )  \qquad \cos \alpha -\sin \alpha =\sqrt{2}\sin ({{45}^{\text{o}}}-\alpha )  \]

    \[ 1+\sin \alpha =2{{\cos }^{2}}\left( {{45}^{\text{o}}}-\frac{\alpha }{2} \right) \qquad 1-\sin \alpha =2{{\sin }^{2}}\left( {{45}^{\text{o}}}-\frac{\alpha }{2} \right)\]

    \[ 1+\cos \alpha =2{{\cos }^{2}}\frac{\alpha }{2}  \qquad 1-\cos \alpha =2{{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{2}\]

    \[ 1+\text{tg }\alpha =\frac{\sqrt{2}\sin ({{45}^{\text{o}}}+\alpha )}{\cos \alpha }  \qquad 1-\text{tg }\alpha =\frac{\sqrt{2}\sin ({{45}^{\text{o}}}-\alpha )}{\cos \alpha }\]

    \[ 1-\text{tg }^{2}\alpha =\frac{\cos 2\alpha }{{\cos }^{2}\alpha } \qquad 1-\text{ctg }^{2}\alpha =-\frac{\cos 2\alpha }{{{\sin }^{2}}\alpha } \]

    \[ 1+\text{tg }\alpha \text{tg }\beta =\frac{\cos (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \cos \beta } \qquad 1-\text{tg }\alpha \text{tg }\beta =\frac{\cos (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta } \]

    \[ \text{ctg }\alpha \text{ctg }\beta +1=\frac{\cos (\alpha -\beta )}{\sin \alpha \sin \beta } \qquad \text{ctg }\alpha \text{ctg }\beta -1=\frac{\cos (\alpha +\beta )}{\sin \alpha \sin \beta }\]

    \[ \text{tg }^{2}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha =\text{tg }^{2}\alpha \cdot {{\sin }^{2}}\alpha  \qquad \text{ctg }^{2}\alpha -{{\cos }^{2}}\alpha =\text{ctg }^{2}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha \]

    \[ \text{tg }^{2}\alpha -\text{tg }^{2}\beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )\sin (\alpha -\beta )}{{{\cos }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\beta }  \qquad \text{ctg }^{2}\alpha -\text{ctg }^{2}\beta =-\frac{\sin (\alpha +\beta )\sin (\alpha -\beta )}{{{\sin }^{2}}\alpha {{\sin }^{2}}\beta }  \]

    \[ \text{ctg }^{2}\alpha -\text{tg }^{2}\beta =\frac{\cos (\alpha +\beta )\cos (\alpha -\beta )}{{{\sin }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\beta }  \]