Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Сумма кубов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

    \[    a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}) \]

Выражение a^{2}-ab+b^{2}, стоящее в правой части равенства, называется неполный квадрат разности. От полного квадрата разности оно отличается лишь отсутствием двойки у второго слагаемого.

Данная формула верна и «справа налево», то есть имеет место соотношение:

    \[    (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3} \]

При помощи этих формул можно раскладывать на множители многочлены.

Примеры решения задач по теме «Сумма кубов»

ПРИМЕР 1
Задание Разложить на множители двучлен 8u^{3}+v^{3}.
Решение Представим каждое слагаемое в виде:

    \[    8u^{3}+v^{3} = 2^{3} \cdot u^{3} + v^{3} = (2u)^{3} + v^{3} = (2u+v)((2u)^{2} - 2u \cdot v + v^{2}) = \]

    \[    = (2u+v)(4u^{2} - 2uv + v^{2}) \]

Ответ 8u^{3}+v^{3} = (2u+v)(4u^{2} - 2uv + v^{2})
ПРИМЕР 2
Задание Найти произведение многочленов a^{2}+b и a^{4}-a^{2}b +b^{2}.
Решение Согласно формуле «сумма кубов», имеем:

    \[    (a^{2}+b)(a^{4}-a^{2}b +b^{2}) = (a^{2}+b)((a^{2})^{2}-a^{2}b +b^{2}) = (a^{2})^{3} + b^{3} = a^{6}+b^{3} \]

Ответ (a^{2}+b)(a^{4}-a^{2}b +b^{2}) = a^{6}+b^{3}

Рассматриваемую формулу «сумма кубов» для положительных величин a и b можно проиллюстрировать геометрически (рис. 1).