Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Квадрат суммы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Квадрат суммы двучлена равен квадрату первого слагаемого плюс удвоенное произведение первого на второй плюс квадрат второго слагаемого.

    \[    (a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \]

Выражение a^{2} + 2ab + b^{2} называется полным квадратом суммы.

Примеры решения задач по теме «Квадрат суммы»

ПРИМЕР 1
Задание Возвести в квадрат двучлен (3x+2y).
Решение Используя формулу «квадрат суммы» будем иметь:

    \[    (3x+2y)^{2} = (3x)^{2}+2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^{2}= 9x^{2}+12xy+4y^{2} \]

Промежуточные вычисления желательно выполнять устно, что, во-первых, сокращает запись решения, а, во-вторых, время его выполнения, то есть сразу писать, что

    \[    (3x+2y)^{2} = 9x^{2}+12xy+4y^{2} \]

Ответ (3x+2y)^{2} = 9x^{2}+12xy+4y^{2}

Формула квадрата суммы верна и в «обратном направлении», то есть имеет место равенство

    \[    a^{2} + 2ab + b^{2} = (a+b)^{2} \]

ПРИМЕР 2
Задание Представить выражение x^{2}+6xy+9y^{2} в виде степени двучлена.
Решение Перепишем заданное выражение в следующем виде:

    \[    x^{2}+6xy+9y^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^{2} \]

Тогда, применив формулу «квадрат суммы», будем иметь:

    \[    x^{2}+6xy+9y^{2} = (x+3y)^{2} \]

Ответ x^{2}+6xy+9y^{2} = (x+3y)^{2}

Геометрическое доказательство

Для положительных чисел a и b формулу (a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} древние греки доказывали геометрически (рис. 1).

Так как площадь квадрата со стороной a+b равна сумме площадей двух квадратов со сторонами a и b соответственно (площадь первого равна a^{2}, а второго b^{2}), а также двух прямоугольников со сторонами a и b, площади которых равны ab.