Квадрат суммы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Квадрат суммы двучлена равен квадрату первого слагаемого плюс удвоенное произведение первого на второй плюс квадрат второго слагаемого.

$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$

Выражение $a^{2} + 2ab + b^{2}$ называется полным квадратом суммы.

Примеры решения задач по теме «Квадрат суммы»

ПРИМЕР 1

Задание

Возвести в квадрат двучлен $(3x+2y)$ .

Решение

Используя формулу «квадрат суммы» будем иметь:

$(3x+2y)^{2} = (3x)^{2}+2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^{2}= 9x^{2}+12xy+4y^{2}$

Промежуточные вычисления желательно выполнять устно, что, во-первых, сокращает запись решения, а, во-вторых, время его выполнения, то есть сразу писать, что

$(3x+2y)^{2} = 9x^{2}+12xy+4y^{2}$

Ответ

$(3x+2y)^{2} = 9x^{2}+12xy+4y^{2}$

Формула квадрата суммы верна и в «обратном направлении», то есть имеет место равенство

$a^{2} + 2ab + b^{2} = (a+b)^{2}$

ПРИМЕР 2

Задание

Представить выражение $x^{2}+6xy+9y^{2}$ в виде степени двучлена.

Решение

Перепишем заданное выражение в следующем виде:

$x^{2}+6xy+9y^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^{2}$

Тогда, применив формулу «квадрат суммы», будем иметь:

$x^{2}+6xy+9y^{2} = (x+3y)^{2}$

Ответ

$x^{2}+6xy+9y^{2} = (x+3y)^{2}$

Геометрическое доказательство

Для положительных чисел $a$ и $b$ формулу $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ древние греки доказывали геометрически (рис. 1).

Так как площадь квадрата со стороной $a+b$ равна сумме площадей двух квадратов со сторонами $a$ и $b$ соответственно (площадь первого равна $a^{2}$ , а второго $b^{2}$ ), а также двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$ , площади которых равны $ab$ .

Понравился сайт? Расскажи друзьям!