Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Куб суммы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Куб суммы двух выражений равен кубу первого, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго.

    \[    (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} \]

Или, данная формула справедлива также в виде:

    \[    a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3} \]

Примеры решения задач по теме «Куб суммы»

ПРИМЕР 1
Задание Представить в виде многочлена стандартного вида (a+3b)^{3}.
Решение Используем формулу сокращенного умножения «куб суммы»:

    \[    (a+3b)^{3} = a^{3} + 3 \cdot a^{2} \cdot 3b + 3 \cdot a \cdot (3b)^{2} + (3b)^{3} = a^{3}+9a^{2}b+27ab^{2}+27b^{3} \]

Ответ (a+3b)^{3} = a^{3}+9a^{2}b+27ab^{2}+27b^{3}

Эту формулу также можно использовать для возведения в куб чисел, если их можно разложить на слагаемые, степени которых достаточно просто вычислить.

ПРИМЕР 2
Задание Вычислить 32^{3}.
Решение Для решения будем использовать формулу сокращенного умножения «куб суммы», для этого представим 32 как 30 + 2. В результате получаем, что:

    \[    32^{3} = (30+2)^{3} = 30^{3} + 3 \cdot 30^{2} \cdot 2 + 3 \cdot 30 \cdot 2^{2} + 2^{3} = \]

    \[    = 27000 + 3 \cdot 900 \cdot 2 + 3 \cdot 30 \cdot 4 + 8 = 27000 + 5400 + 360 + 8 = 32768 \]

Для нахождения 30^{3} было использовано свойство степеней:

    \[    30^{3} = (3 \cdot 10)^{3} = 3^{3} \cdot 10^{3} = 27 \cdot 1000 = 27000 \]

Ответ 32^{3} = 32768