Куб суммы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Куб суммы двух выражений равен кубу первого, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго.

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

Или, данная формула справедлива также в виде:

$a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}$

Примеры решения задач по теме «Куб суммы»

ПРИМЕР 1

Задание	Представить в виде многочлена стандартного вида $(a+3b)^{3}$ .
Решение	Используем формулу сокращенного умножения «куб суммы»: $(a+3b)^{3} = a^{3} + 3 \cdot a^{2} \cdot 3b + 3 \cdot a \cdot (3b)^{2} + (3b)^{3} = a^{3}+9a^{2}b+27ab^{2}+27b^{3}$
Ответ	$(a+3b)^{3} = a^{3}+9a^{2}b+27ab^{2}+27b^{3}$

Эту формулу также можно использовать для возведения в куб чисел, если их можно разложить на слагаемые, степени которых достаточно просто вычислить.

ПРИМЕР 2

Задание

Вычислить $32^{3}$ .

Решение

Для решения будем использовать формулу сокращенного умножения «куб суммы», для этого представим $32$ как $30 + 2$ . В результате получаем, что:

$32^{3} = (30+2)^{3} = 30^{3} + 3 \cdot 30^{2} \cdot 2 + 3 \cdot 30 \cdot 2^{2} + 2^{3} =$

$= 27000 + 3 \cdot 900 \cdot 2 + 3 \cdot 30 \cdot 4 + 8 = 27000 + 5400 + 360 + 8 = 32768$

Для нахождения $30^{3}$ было использовано свойство степеней:

$30^{3} = (3 \cdot 10)^{3} = 3^{3} \cdot 10^{3} = 27 \cdot 1000 = 27000$

Ответ

$32^{3} = 32768$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Куб суммы

Примеры решения задач по теме «Куб суммы»