Формулы корней и их свойства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Корнем $n$ -ой степени из числа $a$ называется такое число $b ,$ что имеет место равенство

$a={{b}^{n}}$

Обозначается как $\sqrt[n]{a} ,$ то есть

$\sqrt[n]{a}=b\Leftrightarrow a={{b}^{n}}$

На этой странице описаны основные формулы и свойства корней. Если показатель корня $n$ является четным, то:

для $a<0$ корень $n$ -ой степени не определен;
для $a\ge 0$ неотрицательное значение корня $b$ уравнения $a={{b}^{n}}$ называется арифметическим корнем $n$ -ой степени из $a$ и обозначается $\sqrt[n]{a} .$

Если показатель $n$ нечетный, то уравнение $a={{b}^{n}}$ имеет единственный корень при любом $a$ .

Основные свойства и формулы корней

Операции над корнями выполняются по следующим правилам:

$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\ b\ne 0$

${{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{k}}=\sqrt[n]{{{a}^{k}}}$

$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[kn]{a}$

$\sqrt[n]{a}=\sqrt[nk]{{{a}^{k}}}$

${{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{n}}=a,\ a\ge 0$

$\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b},\ 0\le a<b$

$\sqrt[2n]{{{a}^{2n}}}=\left| a \right|$

$\sqrt[2n+1]{-a}=-\sqrt[2n+1]{a},\ a\ge 0$

ПРИМЕР 1

Задание	Упростить выражение $\sqrt{{{x}^{2}}-6x+9}$
Решение	Подкоренное выражение представляет собой квадрат разности, свернем его по формуле: $\sqrt{{{x}^{2}}-6x+9}=\sqrt{{{x}^{2}}-2\cdot x\cdot 3+{{3}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}=\left\| x-3 \right\|$
Ответ	$\sqrt{{{x}^{2}}-6x+9}=\left\| x-3 \right\|$