Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формулы корней и их свойства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Корнем n-ой степени из числа a называется такое число b , что имеет место равенство

    \[a={{b}^{n}}\]

Обозначается как \sqrt[n]{a} , то есть

    \[\sqrt[n]{a}=b\Leftrightarrow a={{b}^{n}}\]

На этой странице описаны основные формулы и свойства корней. Если показатель корня n является четным, то:

  1. для a<0 корень n-ой степени не определен;
  2. для a\ge 0 неотрицательное значение корня b уравнения a={{b}^{n}} называется арифметическим корнем n-ой степени из a и обозначается \sqrt[n]{a} .

Если показатель n нечетный, то уравнение a={{b}^{n}} имеет единственный корень при любом a .

Основные свойства и формулы корней

Операции над корнями выполняются по следующим правилам:

    \[\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}\]

    \[\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\ b\ne 0\]

    \[{{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{k}}=\sqrt[n]{{{a}^{k}}}\]

    \[\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[kn]{a}\]

    \[\sqrt[n]{a}=\sqrt[nk]{{{a}^{k}}}\]

    \[{{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{n}}=a,\ a\ge 0\]

    \[\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b},\ 0\le a<b\]

    \[\sqrt[2n]{{{a}^{2n}}}=\left| a \right|\]

    \[\sqrt[2n+1]{-a}=-\sqrt[2n+1]{a},\ a\ge 0\]

ПРИМЕР 1
Задание Упростить выражение \sqrt{{{x}^{2}}-6x+9}
Решение Подкоренное выражение представляет собой квадрат разности, свернем его по формуле:

    \[\sqrt{{{x}^{2}}-6x+9}=\sqrt{{{x}^{2}}-2\cdot x\cdot 3+{{3}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}=\left| x-3 \right|\]

Ответ \sqrt{{{x}^{2}}-6x+9}=\left| x-3 \right|
ПРИМЕР 2
Задание Сократить дробь

    \[ \frac{72\sqrt{7}}{\sqrt{567}} \]

Решение Подкоренное выражения, стоящее в знаменателе представим в виде следующего произведения:

    \[567=81\cdot 7\]

Тогда имеем:

    \[\frac{72\sqrt{7}}{\sqrt{567}}=\frac{72\sqrt{7}}{\sqrt{81\cdot 7}}\]

Корень из произведения равен произведению корней из каждого сомножителя, то есть

    \[\frac{72\sqrt{7}}{\sqrt{567}}=\frac{72\sqrt{7}}{\sqrt{81\cdot 7}}=\frac{72\sqrt{7}}{\sqrt{81}\cdot \sqrt{7}}=\frac{72}{9}=8\]

Ответ