Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формулы интеграла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Неопределенным интегралом называется выражение вида \int{f\left( x \right)dx} . Здесь \int – знак интеграла, f\left( x \right) – подынтегральная функция, dx – знак дифференциала, f\left( x \right)dx – подынтегральное выражение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция F\left( x \right) называется первообразной к функции f\left( x \right) , если {F}'\left( x \right)=f\left( x \right) .

Неопределенный интеграл есть множество всех первообразных, то есть

    \[\int{f\left( x \right)dx}=F\left( x \right)+C\]

где C – некоторая константа.

Найти неопределенный интеграл – это значит найти определенную функцию F\left( x \right)+C , пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей интегралов. Ниже подробно разобраны все правила интегрирования и формулы интеграла.

Таблица интегралов

Формулы интеграла

Правила интегрирования

    \[{{\left( \int{f\left( x \right)dx} \right)}^{\prime }}=f\left( x \right)\]

    \[\int{dF\left( x \right)}=\int{{F}'\left( x \right)dx=F\left( x \right)+C}\]

    \[d\left( \int{f\left( x \right)dx} \right)={{\left( \int{f\left( x \right)dx} \right)}^{\prime }}dx=f\left( x \right)dx\]

    \[\int{C\cdot f\left( x \right)dx}=C\cdot \int{f\left( x \right)dx}\]

    \[\int{\left( f\left( x \right)\pm g\left( x \right) \right)dx}=\int{f\left( x \right)dx}\pm \int{g\left( x \right)dx}\]

Если

    \[ \int{f\left( x \right)dx}=F\left( x \right)+C \]

то

    \[ \int{f\left( ax+b \right)}dx=\frac{1}{a}F\left( ax+b \right)+C \]

ПРИМЕР 1
Задание Найти интеграл

    \[ \int{\frac{dx}{{{x}^{2}}-16}} \]

Решение Согласно формуле интеграла

    \[ \int{\frac{du}{{{u}^{2}}-{{a}^{2}}}}=\frac{1}{2a}\text{ln}\frac{u-a}{u+a}+C \]

при a=4 имеем, что

    \[\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}-16}}=\frac{1}{2\cdot 4}\ln \frac{x-4}{x+4}+C=\frac{1}{8}\ln \frac{x-4}{x+4}+C\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти неопределенный интеграл

    \[ \int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+12}}} \]

Решение Применим формулу интеграла

    \[ \int{\frac{du}{\sqrt{{{u}^{2}}+\alpha }}}=\ln \left| u+\sqrt{{{u}^{2}}+\alpha } \right|+C \]

При \alpha =12 и u=x, получаем:

    \[\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+12}}}=\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+12} \right|+C\]

Ответ